[论文解读] The number of small blocks in exchangeable random partitions

Jason Schweinsberg|arXiv (Cornell University)|Nov 9, 2009

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 14被引用 14

一句话总结

本文建立了可交换随机划分中一个关键的渐近关系：若在 $ \{1,\dots,n\} $ 上划分的块数 $ K_n $ 依概率收敛于 $ \Gamma(1-\alpha)n^\alpha \ell(n) $，其中 $ 0 < \alpha < 1 $，则大小为 $ r $ 的块数 $ K_{n,r} $ 依概率收敛于 $ \alpha \Gamma(r - \alpha)/r! \cdot n^\alpha \ell(n) $。该结果将先前的几乎必然收敛结果推广至依概率收敛，对种群遗传学中的共祖过程具有重要意义。

ABSTRACT

Suppose $Π$ is an exchangeable random partition of the positive integers and $Π_n$ is its restriction to $\{1, ..., n\}$. Let $K_n$ denote the number of blocks of $Π_n$, and let $K_{n,r}$ denote the number of blocks of $Π_n$ containing $r$ integers. We show that if $0 &lt; α&lt; 1$ and $K_n/(n^α \ell(n))$ converges in probability to $Γ(1-α)$, where $\ell$ is a slowly varying function, then $K_{n,r}/(n^α \ell(n))$ converges in probability to $αΓ(r - α)/r!$. This result was previously known when the convergence of $K_n/(n^α \ell(n))$ holds almost surely, but the result under the hypothesis of convergence in probability has significant implications for coalescent theory. We also show that a related conjecture for the case when $K_n$ grows only slightly slower than $n$ fails to be true.

研究动机与目标

• 将已知的可交换随机划分中块数的几乎必然收敛结果推广至依概率收敛。
• 建立总块数 $ K_n $ 的渐近增长与小块数 $ K_{n,r} $ 之间的函数关系。
• 为共祖理论中的应用提供严格的概率论基础，特别是针对遗传多样性与突变计数的建模。
• 解决一个关于当 $ K_n $ 的增长仅略慢于 $ n $ 时其行为的猜想，表明在所提条件下该猜想不成立。

提出的方法

• 通过随机渐近频率 $ (P_j) $ 构造可交换随机划分，其中 $ \Pi $ 在给定 $ (P_j) $ 的条件下通过独立同分布抽样定义。
• 应用Tauber定理及慢变函数 $ \ell(n) $ 的性质，将 $ P_j $ 的尾部行为与 $ K_n $ 的增长联系起来。
• 采用耦合论证与矩界控制 $ L_n $（总共祖树长度）与 $ L_n' $（截断版本）之间的差异，结合沿分支的泊松突变过程。
• 使用切比雪夫不等式与马尔可夫不等式，建立 $ K_{n,r} $ 与突变计数 $ S_n $ 的依概率收敛性。
• 分析未关联突变数 $ B_n $ 以从下方界定 $ K_n $，证明 $ B_n/n^\alpha \to 0 $ 依概率成立。
• 利用共祖过程的结构，其中突变沿谱系以速率 $ \theta $ 发生，且 $ S_n $ 条件分布为均值为 $ \theta L_n $ 的泊松分布。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，$ K_n $ 依概率收敛于 $ \Gamma(1-\alpha)n^\alpha \ell(n) $ 能推出 $ K_{n,r} $ 依概率收敛于 $ \alpha \Gamma(r - \alpha)/r! \cdot n^\alpha \ell(n) $？
• RQ2 当收敛仅是依概率时，能否将确定性 $ P_j $ 情况下的经典幂律块数渐近结果推广至随机 $ P_j $ 的情形？
• RQ3 当总树长 $ L_n $ 按 $ n^\alpha \ell(n) $ 增长时，共祖树中突变数 $ S_n $ 的极限行为如何？
• RQ4 若猜想 $ K_n $ 的增长仅略慢于 $ n $，是否意味着 $ K_{n,r} $ 具有特定的渐近形式？若成立，该形式是否有效？

主要发现

• 若对 $ 0 < \alpha < 1 $，有 $ K_n / (n^\alpha \ell(n)) \to \Gamma(1 - \alpha) $ 依概率成立，则 $ K_{n,r} / (n^\alpha \ell(n)) \to \alpha \Gamma(r - \alpha)/r! $ 依概率成立。
• 大小为 $ r $ 的块的渐近频率为 $ \alpha \Gamma(r - \alpha)/r! $，该结果将已知的几乎必然收敛结果推广至依概率收敛。
• 共祖树中突变数 $ S_n $ 满足 $ S_n / n^\alpha \to \theta 2^{1-\alpha} (1 - \alpha)^\alpha \pi / \sin(\pi \alpha) $ 依概率成立。
• 差值 $ (S_n - K_n)/n^\alpha \to 0 $ 依概率成立，表明 $ K_n $ 与 $ S_n $ 在常数平移意义下渐近等价。
• 未关联突变数 $ B_n $（可能导致 $ K_n < S_n $）满足 $ B_n / n^\alpha \to 0 $ 依概率成立，验证了 $ K_n $ 与 $ S_n $ 的渐近等价性。
• 对于 $ K_n $ 的增长仅略慢于 $ n $ 的情形，一个猜想被证明为错误，因为在给定条件下其所需的渐近形式并不成立。