[论文解读] The number of subsets of integers with no $k$-term arithmetic progression

József Balogh, Hong Liu+1 more|arXiv (Cornell University)|May 10, 2016

Limits and Structures in Graph Theory被引用 10

一句话总结

该论文通过证明对于无穷多个 $ n $，$[n]$ 中 $k$-AP-free 子集的数量至多为 $2^{O(r_k(n))}$，解决了 Cameron 和 Erdös 长久以来关于 $k$-AP-free 子集数量的问题，其中 $ r_k(n) $ 是最大 $k$-AP-free 子集的大小。关键创新在于提出了一项新的超饱和结果，表明大小为 $\Theta(r_k(n))$ 的集合包含超线性数量的 $k$-项等差数列，从而通过超图容器方法实现了紧致界。

ABSTRACT

Addressing a question of Cameron and Erd\\Ho s, we show that, for infinitely many values of $n$, the number of subsets of $\\{1,2,\\ldots, n\\}$ that do not contain a $k$-term arithmetic progression is at most $2^{O(r_k(n))}$, where $r_k(n)$ is the maximum cardinality of a subset of $\\{1,2,\\ldots, n\\}$ without a $k$-term arithmetic progression. This bound is optimal up to a constant factor in the exponent. For all values of $n$, we prove a weaker bound, which is nevertheless sufficient to transfer the current best upper bound on $r_k(n)$ to the sparse random setting. To achieve these bounds, we establish a new supersaturation result, which roughly states that sets of size $\\Theta(r_k(n))$ contain superlinearly many $k$-term arithmetic progressions. For integers $r$ and $k$, Erd\\Ho s asked whether there is a set of integers $S$ with no $(k+1)$-term arithmetic progression, but such that any $r$-coloring of $S$ yields a monochromatic $k$-term arithmetic progression. Ne\\v{s}et\\v{r}il and R\\"odl, and independently Spencer, answered this question affirmatively. We show the following density version: for every $k\\ge 3$ and $\\delta>0$, there exists a reasonably dense subset of primes $S$ with no $(k+1)$-term arithmetic progression, yet every $U\\subseteq S$ of size $|U|\\ge\\delta|S|$ contains a $k$-term arithmetic progression. Our proof uses the hypergraph container method, which has proven to be a very powerful tool in extremal combinatorics. The idea behind the container method is to have a small certificate set to describe a large independent set. We give two further applications in the appendix using this idea.

研究动机与目标

• 确定 $[n]$ 中 $k$-AP-free 子集的渐近数量，解决 Cameron 和 Erdös 提出的猜想。
• 建立大小为 $\Theta(r_k(n))$ 的集合中 $k$-项等差数列的超饱和结果。
• 证明对于无穷多个 $n$，$k$-AP-free 子集的数量至多为 $2^{O(r_k(n))}$，与平凡下界在指数常数范围内一致。
• 构造一个无 $(k+1)$-项等差数列但每个足够稠密的子集均包含 $k$-项等差数列的素数稠密集，从而展示 Nešetřil 和 Rödl 以及 Spencer 结果的密度版本。

提出的方法

• 利用超图容器方法来界定表示 $k$-AP 的超图中独立集的数量。
• 建立新的超饱和结果：大小为 $\Theta(r_k(n))$ 的集合包含 $\omega(m)$ 个 $k$-AP，其中 $m$ 是集合的大小。
• 使用精心选择的参数 $\varepsilon = n^{-\gamma/2}$，$\tau = n^{-1/(k-1)+\gamma/2}$ 应用容器方法，以控制每个容器中 $k$-AP 的数量。
• 在素数集合 $\mathbf{P}_{\leq n}$ 上使用概率方法，以概率 $p = n^{-1/k}$ 独立地选取每个素数，从而构造一个稠密且无 $(k+1)$-AP 的集合，且其中包含大量 $k$-AP。
• 使用马尔可夫不等式证明，以正概率，素数的随机子集不包含 $k$-AP-free 的 $m$-子集，且 $(k+1)$-AP 的数量很少，从而可通过每条 $(k+1)$-AP 删除一个元素来构造所需的 $S'$。
• 利用 Green-Tao 定理来估计 $\mathbf{P}_{\leq n}$ 中 $(k+1)$-AP 的期望数量，确保随机子集中的此类等差数列数量很少。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于无穷多个 $n$，$[n]$ 中 $k$-AP-free 子集的数量是否被 $2^{O(r_k(n))}$ 所界定，如 Cameron 和 Erdös 所猜想？
• RQ2 能否在大小为 $\Theta(r_k(n))$ 的集合中建立 $k$-AP 的超饱和结果，表明其包含超线性数量的 $k$-AP？
• RQ3 是否存在一个无 $(k+1)$-项等差数列但每个足够稠密的子集均包含 $k$-项等差数列的素数稠密集？
• RQ4 能否使用容器方法将当前 $r_k(n)$ 的最佳上界推广到稀疏随机设置？

主要发现

• 对于无穷多个 $n$，$[n]$ 中 $k$-AP-free 子集的数量至多为 $2^{O(r_k(n))}$，与平凡下界在指数常数范围内一致。
• 本文建立了新的超饱和结果：任意大小为 $\Theta(r_k(n))$ 的集合包含 $\omega(m)$ 个 $k$-项等差数列，其中 $m$ 是集合的大小。
• 对所有 $n$，$k$-AP-free 子集的数量至多为 $2^{O(r_k(n) \cdot (\log n)^{1/(k-1)})}$，且对无穷多个 $n$，该界可改进为 $2^{O(r_k(n))}$。
• 存在一个大小为 $\Omega(n^{1-1/k}/\log n)$ 的素数稠密集 $S'$，其不含 $(k+1)$-项等差数列，但其任意大小至少为 $\delta |S'|$ 的子集均包含一个 $k$-项等差数列，其中 $\delta > 0$ 任意。
• 超图容器方法被成功应用于推导 $k$-AP-free 集合数量的紧致界，甚至在稀疏随机设置下也成立。