[论文解读] The number of trees in a graph

Dhruv Mubayi, Jacques Verstraëte|arXiv (Cornell University)|Nov 23, 2015

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 3被引用 3

一句话总结

本文建立了在最小度至少为 t、平均度为 d 的图 G 中，t 条边的树 T 的同构标记副本数量的紧下界。通过一种新颖的概率归纳法对树嵌入进行分析，证明了 G 中至少包含 $ nd(d - t + 1)^{t - 1} $ 个此类副本，推广了关于路径的早期结果，并将 Erd\'os 与 Simonovits 关于树同态的研究扩展到具有显式度依赖边界的同构嵌入。

ABSTRACT

Let $T$ be a tree with $t$ edges. We show that the number of isomorphic (labeled) copies of $T$ in a graph $G = (V,E)$ of minimum degree at least $t$ is at least \[2|E| \prod_{v \in V} (d(v) - t + 1)^{\frac{(t-1)d(v)}{2|E|}}.\] Consequently, any $n$-vertex graph of average degree $d$ and minimum degree at least $t$ contains at least $$nd(d-t+1)^{t-1}$$ isomorphic (labeled) copies of $T$. This answers a question of Dellamonica et. al. (where the above statement was proved when $T$ is the path with three edges) while extending an old result of Erd\H os and Simonovits.

研究动机与目标

• 确定在最小度至少为 t 的图 G 中，t 条边的树 T 的同构标记副本数量的非平凡下界。
• 将 [3] 关于三边路径的结果推广至任意树。
• 将 Erd\'os 与 Simonovits 关于树游走的渐近结果扩展为同构嵌入的精确、凸度依赖下界。
• 解决 [3] 中提出的问题：在最小度条件下，同构树副本是否存在度凸下界。

提出的方法

• 通过树 T 的良好标记（例如通过 BFS/DFS）定义同构树嵌入上的概率测度，并按顺序选择顶点，避免重复使用已用顶点。
• 为每个嵌入 $ \omega $ 构造概率分布 $ \mathbb{P}(\omega) $，其与每一步可用选择数成反比，且基于顶点度减去 $ t-1 $ 的界限。
• 通过关于 t 的归纳法证明：顶点 $ v $ 在嵌入中处于位置 $ i $ 的边缘概率 $ g_i(v) $ 满足 $ g_i(v) \geq \frac{d(v)}{nd} $，利用对称性与重标记论证。
• 对概率乘积应用算术-几何平均不等式，推导出嵌入总数的下界。
• 利用概率函数在树反向标记下不变的性质（即 $ p(\omega) = p(z) $）来处理嵌入序列中的最后一个顶点。
• 对凸函数 $ f(x) = (t-1)x \log(x - t + 1) $ 应用 Jensen 不等式，从基于顶点度的下界推导出最终基于平均度的下界。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在最小度至少为 t、平均度为 d 的图 G 中，为 t 条边的树 T 的同构标记副本数量建立一个精确的、凸度依赖的下界？
• RQ2 该不等式 $ 2|E| \prod_{v \in V} (d(v) - t + 1)^{\frac{(t-1)d(v)}{2|E|}} $ 是否对同构树副本成立，从而推广 [3] 中关于路径的结果？
• RQ3 该下界 $ nd(d - t + 1)^{t - 1} $ 是否是紧的，并且是否在极值图（如大小为 $ d+1 $ 的不相交团）中达到？
• RQ4 先前工作中用于同态的方法是否可被调整以处理同构，其中必须在嵌入过程中强制顶点唯一性？
• RQ5 即使嵌入过程是非马尔可夫的（由于顶点被排除），顶点在树嵌入中某一位出现的边缘概率是否仍被 $ d(v)/nd $ 下界控制？

主要发现

• 在最小度至少为 t、平均度为 d 的图 G 中，t 条边的树 T 的同构标记副本数量至少为 $ nd(d - t + 1)^{t - 1} $，如推论 2 所示。
• 主要结果定理 1 建立了下界 $ nd \prod_{v \in V} (d(v) - t + 1)^{\frac{(t-1)d(v)}{nd}} $，该下界比以往的界限更紧且结构更清晰。
• 证明使用了一种新颖的树嵌入归纳法，辅以精心定义的概率测度，考虑了顶点可用性并避免了重复计数。
• 该下界在如下意义上是紧的：完全图（或大小为 $ d+1 $ 的不相交团）可达到 $ nd(d-1)(d-2)\cdots(d-t+1) $，与下界的渐近形式一致。
• 本文通过证明在最小度约束下同构树副本存在度凸下界，解决了 [3] 中的一个开放问题。
• 该方法表明，即使嵌入过程由于顶点排除而具有非马尔可夫性，顶点在树嵌入中某一位出现的概率仍被 $ d(v)/nd $ 下界控制。