[论文解读] The number of unary clones containing the permutations on an infinite set

Michael Pinsker|arXiv (Cornell University)|Oct 18, 2004

semigroups and automata theory参考文献 2被引用 10

一句话总结

本文确定了包含无限集 X 上所有置换的 unary clone 区间之基数，表明其大小与整个 clone 格同构——对于不可数的 regular X，其大小为 $2^{2^{\text{max}\big\{\aleph_0\big\}}}$，而对于 singular X，其大小为 $2^{\kappa^{<\kappa}}$。结果表明，除一个例外情况外，从置换群到 maximal unary clone 的区间也极大，其大小取决于集合论公理。

ABSTRACT

We calculate the number of unary clones (submonoids of the full transformation monoid) containing the permutations, on an infinite base set. It turns out that this number is quite large, on some cardinals as large as the whole clone lattice. Moreover we find that, with one exception, even the cardinalities of the intervals between the monoid of all permutations and the maximal submonoids of the full transformation monoid are as large. Whether or not the only exception is of the same cardinality as the other intervals depends on additional axioms of set theory.

研究动机与目标

• 确定包含所有置换的无限集 X 上 unary clone 的数量。
• 分析 clone 格中区间 $[\mathscr{S}, \mathscr{O}^{(1)}]$ 的结构与基数，其中 $\mathscr{S}$ 为置换的幺半群。
• 研究从 $\mathscr{S}$ 到全变换幺半群的 maximal 子幺半群之间的区间在基数上的大小。
• 检查区间基数对集合论公理（特别是对奇异基数）的依赖性。

提出的方法

• 为 unary 函数 $f$ 定义 kernel 序列 $s_f: \mathscr{K} \to \mathscr{K}$，其中 $\mathscr{K}$ 为所有 $\leq \kappa$ 的基数集合，对每个 $\xi$，将其映射为大小为 $\xi$ 的 kernel 类的数量。
• 利用 kernel 序列与像大小 $|X \setminus f[X]|$ 对函数进行置换等价分类：若 $s_f = s_g$ 且 $|X \setminus f[X]| = |X \setminus g[X]|$，则存在置换 $\beta, \gamma$ 使得 $f = \beta \circ g \circ \gamma$。
• 构造大小为 $\kappa$ 的集合 $\mathscr{R}$ 的成对不可比较的小无界子集族，以生成不同的 clone，利用 $\kappa^{<\kappa}$ 与 $2^{\kappa^{<\kappa}}$ 的基数。
• 对于奇异 $\kappa$，分析 $\mathscr{A}'$ 的结构，即纤维大小在 $\kappa$ 以下有界的函数的幺半群，并计算 $\mathscr{A}'$ 中不同 kernel 序列的数量为 $\kappa^{<\kappa}$。
• 利用 $\kappa^{<\kappa}$ 个成对不可比较的小无界子集存在于 $\mathscr{R}$ 的事实，构造出 $2^{\kappa^{<\kappa}}$ 个不同的 clone 位于 $[\mathscr{S}, \mathscr{A}']$ 中。
• 将 precomplete clone 上的结果综合起来，计算区间的大小，区分 regular 与 singular $\kappa$ 的情况，并将结果与广义连续统假设（GCH）联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于无限集 $X$，其基数为 $\kappa = \aleph_\alpha$，包含所有置换的 unary clone 的集合的基数是多少？
• RQ2 在不同包含置换的 maximal unary clone $\mathscr{M}$ 下，区间 $[\mathscr{S}, \mathscr{M}]$ 的大小如何变化？
• RQ3 对于奇异基数 $\kappa$，区间 $[\mathscr{S}, \mathscr{A}']$ 的精确基数是多少？其与 $2^{2^{\lambda}}$ 的关系如何？
• RQ4 $[\mathscr{S}, \mathscr{A}']$ 的基数是否等于 $[\mathscr{S}, \mathscr{D}]$ 的基数，其中 $\mathscr{D}$ 是所有在 $\mathscr{S}$ 之上的 precomplete clone 的交集？
• RQ5 集合论公理（如 GCH）如何影响 clone 格中置换群之上的区间的大小？

主要发现

• 对于基数为 $\kappa = \aleph_\alpha$ 的无限集 $X$，包含所有置换的 unary clone 的数量为 $2^{2^{\lambda}}$，其中 $\lambda = \text{max}\{\,|\alpha|, \aleph_0\,\}$。
• 若 $\kappa$ 为 regular，则对每个在 $\mathscr{S}$ 之上的 precomplete clone $\mathscr{G}$，区间 $[\mathscr{S}, \mathscr{G}]$ 的大小为 $2^{2^{\lambda}}$，且对 $[\mathscr{S}, \mathscr{D}]$ 同样成立，其中 $\mathscr{D}$ 为所有此类 precomplete clone 的交集。
• 对于满足 $\lambda = \kappa$ 的奇异 $\kappa$，区间 $[\mathscr{S}, \mathscr{A}']$ 的大小为 $2^{\kappa^{<\kappa}}$，其可能严格小于 $2^{2^{\kappa}}$，具体取决于集合论假设。
• $[\mathscr{S}, \mathscr{D}]$ 的大小在 $\lambda < \kappa$ 时为 $2^{2^{\lambda}}$，在 $\lambda = \kappa$ 时为 $2^{\kappa^{<\kappa}}$，表明其依赖于 $\kappa$ 的余有限性与基数算术。
• 唯一不具统一极大性的例外是奇异 $\kappa$ 时的 $\mathscr{A}'$，其区间大小为 $2^{\kappa^{<\kappa}}$，可能小于 $2^{2^{\lambda}}$。
• $[\mathscr{S}, \mathscr{A}']$ 与 $[\mathscr{S}, \mathscr{D}]$ 是否与其他区间的基数相等，取决于额外公理：在 GCH 下，$2^{\kappa^{<\kappa}} = 2^{2^{\kappa}}$，但亦存在 $2^{\kappa^{<\kappa}} < 2^{2^{\kappa}}$ 的一致性模型。