[论文解读] The Number Theoretic Hilbert Transform

Subhash Kak|arXiv (Cornell University)|Aug 5, 2013

Advanced Mathematical Theories and Applications参考文献 17被引用 7

一句话总结

本文提出了数论希尔伯特变换（NHT），一种离散的循环变换，可保持离散希尔伯特变换矩阵的交替零-非零行模式。该方法将DHT推广至模运算，利用数论性质实现密码学安全的信号混淆，提供了4、6和8点的实例作为安全信号处理的构建模块。

ABSTRACT

This paper presents a general expression for a number-theoretic Hilbert transform (NHT). The transformations preserve the circulant nature of the discrete Hilbert transform (DHT) matrix together with alternating values in each row being zero and non-zero. Specific examples for 4-point, 6-point, and 8-point NHT are provided. The NHT transformation can be used as a primitive to create cryptographically useful scrambling transformations.

研究动机与目标

• 开发离散希尔伯特变换（DHT）的数论类比，使其在模算术下保持原有结构特性。
• 通过有限域构建安全、可逆的信号混淆变换，用于密码学应用。
• 将DHT矩阵结构推广至模素数整数环，保持每行交替出现零和非零元素的特性。
• 为小点数（4、6、8）提供NHT的显式构造，作为安全信号处理的实际原 primitive。

提出的方法

• 将NHT定义为模素数整数环上的循环矩阵，确保其保持DHT的交替零-非零模式。
• 利用模算术替代复数或实数变换，采用适合密码学应用的整数运算。
• 基于数论原理构造生成序列，构建NHT矩阵，确保其可逆性和周期性。
• 验证所得变换在有限域环境下仍保持原始DHT的关键特性，如正交性和循环对称性。
• 通过显式矩阵表达式，展示4点、6点和8点NHT的实现。
• 鉴于其代数结构和对线性密码分析的抗性，建议将NHT用作密码学混淆函数的原 primitive。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否基于数论原理将离散希尔伯特变换推广至有限域上运行？
• RQ2 如何在模算术中保持DHT的循环结构和交替零-非零模式？
• RQ3 在何种条件下，NHT矩阵保持可逆且适用于密码学应用？
• RQ4 特定NHT构造（如4、6、8点）在信号混淆作为原 primitive 时表现如何？
• RQ5 由于其代数和结构特性，NHT在安全通信系统中的应用有何影响？

主要发现

• 当在有限域上定义时，NHT保持了离散希尔伯特变换矩阵的循环结构和交替零-非零模式。
• 显式构造了4点、6点和8点的NHT矩阵，证明了其可行性与结构一致性。
• NHT具有可逆性和可逆性，适用于对称密码原 primitive。
• 由于其数论基础，该变换表现出有利于密码学安全的特性，如非线性和扩散性。
• NHT可作为数字信号安全混淆与变换的构建模块，计算效率高。
• 该方法通过模算术在经典信号处理变换与现代密码学应用之间建立了桥梁。