[论文解读] The numbers of repeated palindromes in the Fibonacci and Tribonacci sequences

Yuke Huang, Zhi‐Ying Wen|arXiv (Cornell University)|Apr 18, 2016

semigroups and automata theory参考文献 6被引用 5

一句话总结

本文提出算法，用于计算斐波那契数列与三体那契数列前缀中重复回文的个数，利用间隙序列的性质以及回文因子的递归结构。推导出在斐波那契数与三体那契数处重复回文个数的显式公式，例如 $ A(f_m) = \frac{m-3}{5}f_{m+2} + \frac{m-1}{5}f_m + m + 3 $ 和 $ B(t_m) = \frac{m}{22}(10t_m + 5t_{m-1} + 3t_{m-2}) + \cdots + m + \frac{3}{2} $，首次系统地处理了这些数列中重复回文的计数问题。

ABSTRACT

The Fibonacci sequence $\mathbb{F}$ is the fixed point beginning with $a$ of morphism $σ(a,b)=(ab,a)$. Since $\mathbb{F}$ is uniformly recurrent, each factor $ω$ appears infinite many times in the sequence which is arranged as $ω_p$ $(p\ge 1)$. Here we distinguish $ω_p eqω_q$ if $p eq q$. In this paper, we give algorithm for counting the number of repeated palindromes in $\mathbb{F}[1,n]$ (the prefix of $\mathbb{F}$ of length $n$). That is the number of the pairs $(ω, p)$, where $ω$ is a palindrome and $ω_p\prec\mathbb{F}[1,n]$. We also get explicit expressions for some special $n$ such as $n=f_m$ (the $m$-th Fibonacci number). The similar results are also given to the Tribonacci sequence, the fixed point beginning with $a$ of morphism $τ(a,b,c)=(ab,ac,a)$.

研究动机与目标

• 开发一种系统化方法，用于计算斐波那契数列与三体那契数列中重复回文的个数。
• 解决由于复杂位置分布导致的在这些数列中追踪每个回文所有出现位置的挑战。
• 建立在特定长度（特别是斐波那契数与三体那契数）处重复回文个数的显式闭式表达式。
• 将该方法推广至 m-阶波那契与拟斯图尔米安数列，利用间隙序列与递归结构的性质。

提出的方法

• 利用斐波那契与三体那契数列的间隙序列性质，分析每个回文连续出现之间的间距。
• 构建回文集合的递归结构，基于核词将它们分解为圆柱体与链结构。
• 定义并计算重复回文的个数，即对前缀 $\mathbb{F}[1,n]$ 或 $\mathbb{T}[1,n]$ 中每个回文的出现次数求和。
• 应用核词 $K_m$ 的递归结构，推导出回文计数的递推关系。
• 采用圆柱体分解 $\mathcal{P}_F = \langle a\rangle \cup \langle b\rangle \cup \langle aa\rangle$ 与 $\mathcal{P}_T = \langle a\rangle \cup \langle b\rangle \cup \langle c\rangle \cup \langle aa\rangle$，根据长度与中心字母对回文进行分类。
• 通过数学归纳法与斐波那契与三体那契数列的已知恒等式，推导出 $A(n)$ 与 $B(n)$ 的显式公式。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何高效计算任意 $n$ 时斐波那契数列前缀 $\mathbb{F}[1,n]$ 中重复回文的个数？
• RQ2 在第 $m$ 个斐波那契数 $f_m$ 处，$\mathbb{F}[1,f_m]$ 中重复回文的确切个数是多少？
• RQ3 能否将类似的算法与分析框架扩展至三体那契数列，以计算重复回文的个数？
• RQ4 斐波那契与三体那契数列的哪些结构特性使得能够推导出重复回文计数的显式公式？

主要发现

• 开发了一种算法，用于计算 $A(n)$，即 $\mathbb{F}[1,n]$ 中重复回文的个数，利用间隙序列与回文的递归结构。
• 推导出 $A(f_m)$ 的显式公式：$ A(f_m) = \frac{m-3}{5}f_{m+2} + \frac{m-1}{5}f_m + m + 3 $，其中 $m \geq 0$。
• 对于三体那契数列，获得了 $B(t_m)$ 的显式公式：$ B(t_m) = \frac{m}{22}(10t_m + 5t_{m-1} + 3t_{m-2}) + \frac{1}{22}(-23t_m + 12t_{m-1} - 5t_{m-2}) + m + \frac{3}{2} $，其中 $m \geq 0$。
• 通过新定义的圆柱体与链结构，验证了该方法能恢复已知的回文计数与共轭性质结果。
• 链结构 $\bigcup_{m=-1}^{\infty} \langle K_m,1\rangle = \mathbb{N}$ 确认了斐波那契数列的丰富性，即 $\mathbb{F}[1,n]$ 中包含 $n$ 个不同的非空回文。
• 本文表明，只要已知间隙序列的性质，该方法可推广至 $m$-阶波那契与拟斯图尔米安数列。