[论文解读] The Omega Counter, a Frequency Counter Based on the Linear Regression

Enrico Rubiola, Michel Lenczner+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 16, 2015

Advanced Electrical Measurement Techniques被引用 4

一句话总结

本文提出了一种基于线性回归（LR）的频率-数字转换器Omega计数器，相较于传统的$Π$和$λ$计数器，其在抑制白相位噪声方面表现出更优的性能。通过对接收到的时间戳相位测量值应用抛物 weighting 函数，$Ω$估计器在不增加硬件复杂度的前提下，相比$λ$计数器将噪声性能提升了1.25 dB，使其成为精密定时系统中高带宽噪声测量的理想选择。

ABSTRACT

This article introduces the Ω counter, a frequency counter -- or a frequency-to-digital converter, in a different jargon -- based on the Linear Regression (LR) algorithm on time stamps. We discuss the noise of the electronics. We derive the statistical properties of the Ω counter on rigorous mathematical basis, including the weighted measure and the frequency response. We describe an implementation based on a SoC, under test in our laboratory, and we compare the Ω counter to the traditional Π and Λ counters. The LR exhibits optimum rejection of white phase noise, superior to that of the Π and Λ counters. White noise is the major practical problem of wideband digital electronics, both in the instrument internal circuits and in the fast processes which we may want to measure. The Ω counter finds a natural application in the measurement of the Parabolic Variance, described in the companion article arXiv:1506.00687 [physics.data-an].

研究动机与目标

• 开发一种具有优异噪声抑制能力的频率计数器，适用于精密定时应用中的高带宽测量。
• 解决传统计数器（$Π$和$λ$）在抑制白相位噪声方面的局限性，后者是宽带数字电子系统中主要的噪声源。
• 证明基于线性回归的估计方法可在噪声性能与实现复杂度之间实现最优权衡。
• 通过低复杂度、适用于片上系统（SoC）的架构，实现适合高级噪声分析（如抛物线方差，PVAR）的高分辨率频率测量。

提出的方法

• $Ω$计数器对时间戳相位测量值进行线性回归以估计频率，在白噪声假设下最小化残差平方和。
• 对测量的相位数据应用抛物 weighting 函数，对应于相位随时间的二次拟合。
• 估计器方差推导为$\mathbb{V}\{\hat{\mathbf{y}}\} \approx \frac{12\sigma_{\mathsf{x}}^{2}}{\nu_{s}\tau^{3}}$，其中$\sigma_{\mathsf{x}}^{2}$为时间抖动方差，$\nu_{s}$为采样频率，$\tau$为测量时间。
• 通过最小化残差误差的能量实现最优噪声抑制，该方法在白噪声条件下可达到最低可能的方差。
• 实现基于片上系统（SoC），利用现代FPGA与嵌入式处理能力实现实时计算。
• 设计支持灵活的抽取（decimation），并与$Π$和$λ$计数器所用的现有架构兼容，支持直接比较与共存。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否利用线性回归构建一种频率计数器，使其在白相位噪声抑制方面优于传统的$Π$和$λ$计数器？
• RQ2 基于线性回归的频率估计器在方差与噪声带宽方面的统计性能如何？
• RQ3 在相同条件下，$Ω$计数器的噪声性能与$λ$计数器相比如何定量评估？
• RQ4 $Ω$计数器的噪声抑制性能提升是否可在不增加硬件复杂度或计算开销的前提下实现？
• RQ5 $Ω$计数器能否有效用于抛物线方差（PVAR）的测量？PVAR是快速噪声现象的关键指标。

主要发现

• 与$λ$计数器相比，$Ω$计数器在不增加硬件复杂度的前提下，实现了1.25 dB的白相位噪声抑制性能提升。
• $Ω$计数器的估计器方差随$1/\nu_{s}\tau^{3}$变化，与$λ$计数器一致，但其常数因子为$12\sigma_{\mathsf{x}}^{2}$，而$Π$计数器为$16\sigma_{\mathsf{x}}^{2}$。
• $Ω$计数器的抛物 weighting 函数可实现对白相位噪声的最优抑制，因其在最小二乘拟合中最小化了残差能量。
• 与$λ$计数器不同，由于重叠抛物窗的边缘效应，$Ω$计数器的输出无法实现精确抽取，但此不影响其噪声性能。
• $Ω$计数器非常适合用于测量抛物线方差（PVAR），因其为该指标提供了自然且最优的估计方法。
• 该方法可在现代SoC平台上实现，仅需极少的数字硬件开销，可轻松集成至现有频率测量系统中。