[论文解读] The one-dimensional compressible Navier-Stokes equations in critical regularity spaces

Raphaël Danchin|arXiv (Cornell University)|Mar 16, 2026

Navier-Stokes equation solutions被引用 0

一句话总结

在临界Besov空间中，使用质量拉格朗日坐标，研究一维可压缩不可压 Navier–Stokes 方程在接近稳定常数态时的全局适定性、最佳衰减与高粘度极限分析。

ABSTRACT

We are concerned with the barotropic compressible Navier-Stokes equations on the real line. Our primary goal is to establish the global well-posedness in a critical regularity framework in the case where the initial data are small perturbations of a stable constant state. Surprisingly, even though the result in the multi-dimensional case is by now classical, the one-dimensional case has not been elucidated yet as far as we know. This is due to the fact that in the critical framework, the regularity of the velocity is so negative that some nonlinear terms are out of control. Here, we overcome the difficulty by considering the equations in the mass Lagrangian coordinates system. Granted with a global well-posedness statement, we then establish optimal time decay estimates and investigate the high viscosity limit, pointing out the convergence of the specific volume to the solution of some ordinary differential equation, after time and space rescaling.

研究动机与目标

• 在临界（Besov）正则性空间中，动机并建立一维可压缩可压性Navier–Stokes方程的全局适定性。
• 通过在质量拉格朗日坐标中工作，克服一维中负速度正则性带来的困难。
• 表征长期衰减率并探讨高粘度极限及相关收敛现象。

提出的方法

• 将一维系统改写为质量拉格朗日坐标，以获得对非线性项的正则性控制。
• 在临界同伦Besov空间中工作，采用带频率截止的低/高频分解，使用分离尺度的范数。
• 在临界框架下证明局部适定性结果，然后对稳定常数状态的小扰动证明全局存在性。
• 引入有效速度以处理高频动态并给出低/高频分量的先验估计。
• 建立解的最优时间衰减率，进行扩散尺度变换以分析高粘度极限及密度收敛到ODE解的情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 在接近稳定状态的临界正则性框架下，是否可以获得一维可压缩Navier–Stokes方程的全局适定性？
• RQ2 在Besov空间中低/高频分量的行为如何，是否能在一维负速度正则性的情况下控制非线性项？
• RQ3 在这种临界设定下解的最优衰减率是多少，高粘度极限如何影响密度与速度场？

主要发现

• 在一维接近稳定常数态的临界Besov空间中，对小初值实现了全局适定性。
• 解表现出与热扩散行为相匹配的低频最优时间衰减，并且高频衰减增强。
• 一个显式的扩散尺度变换证明了在高粘度极限下密度收敛到ODE解。
• 该框架能够在低频对速度具有负正则性的情况下仍通过质量-拉格朗日形式保持控制。
• 在初始扰动的小性条件下，将局部适定性结果扩展为全局适定性。