[论文解读] The One-Way Communication Complexity of Group Membership

Scott Aaronson, François Le Gall+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 18, 2009

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 10被引用 3

一句话总结

该论文建立了有限群中子群成员问题的一向经典通信复杂度的上界，表明当子群为正规子群时，通信复杂度可控制在 O(log |G|)，一般情况下则为 O(d_max · log |G|)，其中 d_max 为不可约复表示的最大维数。关键贡献在于提出了一种基于表示理论的协议，利用凯莱图中的谱间隙实现具有有界误差的高效验证。

ABSTRACT

This paper studies the one-way communication complexity of the subgroup membership problem, a classical problem closely related to basic questions in quantum computing. Here Alice receives, as input, a subgroup $H$ of a finite group $G$; Bob receives an element $x \in G$. Alice is permitted to send a single message to Bob, after which he must decide if his input $x$ is an element of $H$. We prove the following upper bounds on the classical communication complexity of this problem in the bounded-error setting: (1) The problem can be solved with $O(\log |G|)$ communication, provided the subgroup $H$ is normal; (2) The problem can be solved with $O(d_{\max} \cdot \log |G|)$ communication, where $d_{\max}$ is the maximum of the dimensions of the irreducible complex representations of $G$; (3) For any prime $p$ not dividing $|G|$, the problem can be solved with $O(d_{\max} \cdot \log p)$ communication, where $d_{\max}$ is the maximum of the dimensions of the irreducible $\F_p$-representations of $G$.

研究动机与目标

• 确定有限群中子群成员问题的经典一向通信复杂度。
• 探究对于总函数，经典与量子一向通信复杂度之间是否存在超线性差距。
• 基于群表示理论与谱图性质，开发子群成员问题的高效协议。
• 刻画通信复杂度关于 |G| 为对数级的群，特别是具有常数指数阿贝尔子群的群。
• 根据群结构与表示维数，提供通信代价的紧致界。

提出的方法

• 利用有限群的表示理论，重点关注不可约复表示及在 F_p 上的模表示。
• 设计一种协议：爱丽丝发送一个类量子态（经典编码）以表示群代数元素，使用子群 H 的对称生成集 A。
• 利用由 yA ∪ Ay^{-1} 生成的凯莱图的谱间隙，对表示空间中向量之间的内积进行有界。
• 应用 Babai 定理，对平均算子 S_A 的算子范数建立下界，该定理由凯莱图的第二特征值决定。
• 应用 Erdős–Rényi 结果，选取大小为 O(log |H|)、直径为 O(log |H|) 的生成集 A，以确保快速混合与谱扩张。
• 分析内积 ⟨v, ρ(y)v⟩ 以对误差概率进行有界，通过测度集中性与范数控制确保协议的可靠性。

实验结果

研究问题

• RQ1 子群成员问题的一向通信复杂度能否以群表示理论为框架进行界定？
• RQ2 当子群 H 为正规子群时，求解子群成员问题的通信代价是多少？
• RQ3 不可约表示的最大维数 d_max 如何影响通信复杂度？
• RQ4 当使用大小为 O(log |H|) 的生成集时，协议能否实现 O(log |G|) 的通信复杂度，尤其针对具有常数指数阿贝尔子群的群？
• RQ5 凯莱图中的谱间隙在确保协议可靠性方面起到何种作用？

主要发现

• 对于有限群 G 的正规子群 H，子群成员问题的一向通信复杂度为 O(log |G|)。
• 对于任意有限群 G，通信复杂度被限制在 O(d_max · log |G|)，其中 d_max 为 G 的不可约复表示的最大维数。
• 当素数 p 不整除 |G| 时，通信复杂度为 O(d_max · log p)，其中 d_max 为 G 的不可约 F_p-表示的最大维数。
• 当使用大小为 O(log |H|) 的生成集时，协议的可靠性误差被控制在 1 - Ω(1/([K:H]^2 log^3 |H|)) 以内。
• 当 d_max 为常数时，通信复杂度为 O(log |G|)，这恰好对应于存在常数指数阿贝尔子群的群。
• 该结果表明，对于此类群，经典一向通信复杂度在 |G| 上为对数级，与量子下界至多相差常数因子。