[论文解读] The one-way communication complexity of the Boolean Hidden Matching Problem

Iordanis Kerenidis, Ran Raz|ArXiv.org|Jul 25, 2006

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 20被引用 5

一句话总结

本文利用傅里叶分析和KKL不等式，建立了布尔隐藏匹配问题的随机化单向通信复杂度的紧下界 Ω(√n)。它展示了量子与经典单向通信复杂度之间的指数级分离，因为对于同一问题，量子协议可实现 O(log n) qubit 复杂度。

ABSTRACT

We give a tight lower bound of Omega(\sqrt{n}) for the randomized one-way communication complexity of the Boolean Hidden Matching Problem [BJK04]. Since there is a quantum one-way communication complexity protocol of O(\log n) qubits for this problem, we obtain an exponential separation of quantum and classical one-way communication complexity for partial functions. A similar result was independently obtained by Gavinsky, Kempe, de Wolf [GKdW06]. Our lower bound is obtained by Fourier analysis, using the Fourier coefficients inequality of Kahn Kalai and Linial [KKL88].

研究动机与目标

• 建立布尔隐藏匹配问题的随机化单向通信复杂度的紧下界。
• 在单向模型中，为部分函数展示量子与经典通信复杂度之间的指数级分离。
• 应用傅里叶分析和KKL不等式推导该下界。
• 提供一种定量分离，凸显量子通信在承诺问题中的强大能力。

提出的方法

• 对与隐藏匹配问题相关的布尔函数使用傅里叶分析。
• 应用 Kahn、Kalai 和 Linial (KKL88) 提出的傅里叶系数不等式，以界定变量的影响。
• 将 Bonami-Beckner 不等式作为傅里叶分析方法中的基础工具。
• 通过分析匹配关系和字符串的汉明权重，刻画函数傅里叶谱的结构。
• 将通信复杂度问题转化为傅里叶系数集中程度的问题。
• 通过假设存在子 √n 通信协议，导出矛盾，从而得到输入集合 A 大小的上界。

实验结果

研究问题

• RQ1 布尔隐藏匹配问题的随机化单向通信复杂度是多少？
• RQ2 对于该问题，量子协议能否显著降低通信成本，优于经典协议？
• RQ3 对于部分函数，是否存在量子与经典单向通信复杂度之间的指数级差距？
• RQ4 傅里叶分析如何用于在通信复杂度中建立紧下界？
• RQ5 KKL 不等式在分析通信复杂度下界时起什么作用？

主要发现

• 布尔隐藏匹配问题的随机化单向通信复杂度为 Ω(√n)，该下界是紧的。
• 存在一个量子单向协议，其 qubit 通信复杂度为 O(log n)，适用于同一问题。
• 这在部分函数中建立了量子与经典单向通信复杂度之间的指数级分离。
• 该下界通过傅里叶分析和 KKL 不等式推导得出，Bonami-Beckner 不等式是关键技术工具。
• 任何有效消息集 A 的大小被限制在 2^{2n - Ω(√n)} 以内，意味着通信至少需要 Ω(√n) 位。
• 该结果证实了在承诺问题的单向模型中，量子通信相比经典通信具有指数级优势。