[论文解读] The Oort conjecture on Shimura curves in the Torelli locus of curves

Xin Lü, Kang Zuo|arXiv (Cornell University)|May 19, 2014

Algebraic Geometry and Number Theory被引用 19

一句话总结

本文证明了在 $g > 11$ 时，对特定类别的自守曲线（Mumford 型自守曲线以及 $g$-重椭圆曲线自积参数化的自守曲线）的 Oort 猜想成立，这些自守曲线位于亏格 $g$ 曲线的 Torelli 套中。此外，本文还证明了当 $g > 7$ 时，不存在位于双椭圆 Torelli 套中的自守曲线，从而得到了关于雅可比群完全可分解的光滑曲线的有限性结果，回应了 Ekedahl 与 Serre 提出的问题。

ABSTRACT

Oort has conjectured that there do not exist Shimura curves contained generically in the Torelli locus of genus-$g$ curves when $g$ is large enough. In this paper we prove the Oort conjecture for Shimura curves of Mumford type and Shimura curves parameterizing principally polarized $g$-dimensional abelian varieties isogenous to $g$-fold self-products of elliptic curves for $g>11$. We also prove that there do not exist Shimura curves contained generically in the Torelli locus of hyperelliptic curves of genus $g>7$. As a consequence, we obtain a finiteness result regarding smooth genus-$g$ curves with completely decomposable Jacobians, which is related to a question of Ekedahl and Serre.

研究动机与目标

• 证明 Oort 猜想：对于足够大的 $g$，不存在正维数的特殊子簇（具体而言是自守曲线）在亏格 $g$ 曲线的 Torelli 套中一般地包含。
• 将此结果推广至参数化 $g$-重椭圆曲线自积的自守曲线，以及双椭圆曲线的情形。
• 建立关于雅可比群完全可分解的光滑亏格 $g$ 曲线的有限性结果，回应 Ekedahl 与 Serre 提出的问题。
• 应用对数 Higgs 线丛与 Arakelov 型不等式，以约束 $σ_g$-半稳定曲线族的几何结构。

提出的方法

• 在模空间 $\mathcal{A}_g$ 中的曲线上利用对数 Higgs 线丛，分析 Hodge 结构的变化。
• 对半稳定曲线族应用严格的 Arakelov 不等式，以推导自守曲线存在的几何约束。
• 运用 Miyaoka-Yau 型不等式与半稳定曲线族的精确斜率不等式，以界定不变量。
• 分析双椭圆半稳定族的 $R^1\bar{f}_*\mathbb{Q}$ 的平坦部分，以研究单值性与 Hodge 理论性质。
• 利用模空间 $\mathcal{S}_g$ 上的对合 $\sigma_g$，将双椭圆对合与模空间结构联系起来。
• 结合微分几何与算术方法，包括自守簇中特殊子簇的理论与 CM 点理论。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $g > 11$ 时，Mumford 型自守曲线是否一般地存在于亏格 $g$ 曲线的 Torelli 套中？
• RQ2 当 $g > 11$ 时，参数化 $g$-重椭圆曲线自积的自守曲线是否一般地存在于 Torelli 套中？
• RQ3 当 $g > 7$ 时，是否存在一般地包含于双椭圆曲线 Torelli 套中的自守曲线？
• RQ4 关于雅可比群完全可分解的光滑亏格 $g$ 曲线，其有限性性质如何？
• RQ5 严格的 Arakelov 不等式与 Miyaoka-Yau 不等式如何约束 $σ_g$-半稳定曲线族在 $\mathcal{A}_g$ 中的几何结构？

主要发现

• 当 $g > 11$ 时，不存在一般地包含于亏格 $g$ 曲线 Torelli 套中的 Mumford 型自守曲线。
• 当 $g > 11$ 时，不存在一般地包含于 Torelli 套中的参数化 $g$-重椭圆曲线自积的自守曲线。
• 当 $g > 7$ 时，不存在一般地包含于双椭圆曲线 Torelli 套中的自守曲线。
• 结果表明，其雅可比群与椭圆曲线乘积同构的光滑亏格 $g$ 曲线是有限的，从而解决了 Ekedahl 与 Serre 提出问题的一个特例。
• 严格 Arakelov 不等式与 Miyaoka-Yau 型不等式被证明是有效工具，可用于排除此类自守曲线的存在性。
• 通过单值性与 Hodge 理论约束，分析了双椭圆半稳定族的 $R^1\bar{f}_*\mathbb{Q}$ 的平坦部分，以支持非存在性结果。