[论文解读] The operational foundations of PT-symmetric and quasi-Hermitian quantum theory

Abhijeet Alase, Salini Karuvade+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 5, 2022

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics参考文献 73被引用 9

一句话总结

本文利用广义概率理论（GPT）框架，研究了PT对称或准赫米特量子理论能否一致地扩展标准量子力学。结果表明，仅PT对称性会导致唯一平凡的物理态，而准赫米特性则恢复标准量子理论；当两者结合时，得到的是实量子系统——表明这两种约束均无法以非平凡方式扩展标准量子理论。

ABSTRACT

PT-symmetric quantum theory was originally proposed with the aim of extending standard quantum theory by relaxing the Hermiticity constraint on Hamiltonians. However, no such extension has been formulated that consistently describes states, transformations, measurements and composition, which is a requirement for any physical theory. We aim to answer the question of whether a consistent physical theory with PT-symmetric observables extends standard quantum theory. We answer this question within the framework of general probabilistic theories, which is the most general framework for physical theories. We construct the set of states of a system that result from imposing PT-symmetry on the set of observables, and show that the resulting theory allows only one trivial state. We next consider the constraint of quasi-Hermiticity on observables, which guarantees the unitarity of evolution under a Hamiltonian with unbroken PT-symmetry. We show that such a system is equivalent to a standard quantum system. Finally, we show that if all observables are quasi-Hermitian as well as PT-symmetric, then the system is equivalent to a real quantum system. Thus our results show that neither PT-symmetry nor quasi-Hermiticity constraints are sufficient to extend standard quantum theory consistently.

研究动机与目标

• 本文旨在确定PT对称或准赫米特可观测量是否能构成一个一致的物理理论，以扩展标准量子力学。
• 本文旨在解决PT对称量子理论缺乏操作基础的问题，即在状态、变换、测量和复合方面的一致性处理。
• 本文研究了诸如PT对称性或准赫米特性等约束是否能产生标准量子理论的非平凡扩展。
• 本文聚焦于此类扩展在广义概率理论（GPT）框架内的数学与操作一致性。
• 本文目标是解决关于PT对称性和准赫米特性量子理论物理可行性的长期疑问。

提出的方法

• 作者采用广义概率理论（GPT）框架作为物理理论的最一般设定，以分析PT对称和准赫米特量子系统的相容性。
• 他们构建了与PT对称可观测量相容的态集合，并证明仅存在唯一一个平凡态满足约束条件。
• 对于准赫米特可观测量，他们证明了由此产生的理论通过C*-代数同构与标准量子理论在数学上同构。
• 他们分析了可观测量同时具备PT对称性和准赫米特性的系统，表明其等价于实量子力学。
• 该分析未假设纯态构成希尔伯特空间，而是从GPT内的操作原理推导出结构。
• 他们运用泛函分析工具，包括C*-代数、克莱因空间（Krein spaces）和内积结构，形式化了这些约束。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构建一个包含PT对称可观测量的一致物理理论，以扩展标准量子力学？
• RQ2 对可观测量施加准赫米特性是否会导致标准量子理论的非平凡扩展？
• RQ3 当所有可观测量同时具备PT对称性和准赫米特性时，其操作与数学结构为何？
• RQ4 PT对称量子理论的克莱因空间表述是否自洽且具有操作可行性？
• RQ5 仅靠PT对称性是否能提供一个无需额外约束的非平凡物理理论？

主要发现

• 仅对可观测量施加PT对称性，将导致理论中仅存在一种可能的物理态，使理论变得平凡且物理上不一致。
• 当可观测量仅受准赫米特性约束时，所得到的理论在数学上与标准量子理论同构，因此并未实现扩展。
• 可观测量同时具备PT对称性和准赫米特性的系统，等价于实量子系统（由实希尔伯特空间定义）。
• 准赫米特方法在不预先假设态空间为希尔伯特空间的前提下恢复了标准量子理论，从而加强了其操作基础。
• 尽管克莱因空间表述被提出作为一致扩展，但其缺乏操作解释，且在有限维系统中并不普遍适用。
• 综合来看，结果表明，无论是PT对称性、准赫米特性单独存在，还是二者结合，均无法实现标准量子理论的非平凡扩展。