[论文解读] The μ-ordinary locus for Shimura varieties of Hodge type

Daniel Wortmann|arXiv (Cornell University)|Oct 24, 2013

Advanced Algebra and Geometry参考文献 14被引用 26

一句话总结

本文通过证明μ-ordinary子集与一般Ekedahl-Oort子集重合，确立了在良好约化素数处，Hodge型Shimura簇特殊纤维上的μ-ordinary子集是开集且稠密的。作者通过群论方法将PEL情形的结果推广至Hodge型情形，利用Dieudonné模同构与Hodge-Newton分解。

ABSTRACT

We review the Newton stratification and Ekedahl-Oort stratification on the special fiber of a smooth integral model for a Shimura variety of Hodge type at a prime of good reduction. We show that the μ-ordinary locus coincides with the generic Ekedahl-Oort stratum, and that for any two geometric points in the μ-ordinary locus there is an isomorphism of the attached Dieudonne modules with additional structure. As a consequence, we proof that the μ-ordinary locus is open and dense, thus generalizing the results which were already known in the PEL-case. To prove our results we provide a method which allows to reduce the equality of strata to a group theoretic statement.

研究动机与目标

• 将μ-ordinary子集的稠密性从PEL型推广至Hodge型Shimura簇。
• 在Hodge型情形下，精确建立μ-ordinary子集与一般Ekedahl-Oort子集之间的关系。
• 将已知的PEL情形下μ-ordinary子集为开集且稠密的结果推广至更广泛的Shimura簇类别。
• 发展一种方法，将Newton子集与Ekedahl-Oort子集相等性约化为群论性条件，从而实现对模解释之外情形的推广。

提出的方法

• 作者利用几何点上的Dieudonné模结构，在积分模型的特殊纤维上定义Newton分层与Ekedahl-Oort分层。
• 应用分解引理，通过群论条件将Newton分层与Ekedahl-Oort分层关联起来。
• 关键技巧是Hodge-Newton分解，它允许比较群及其Levi子群中的仿射Deligne-Lusztig集合。
• 证明将子集相等性约化为涉及κ不变量在共特征族中的像与主导Newton向量的条件。
• 利用Lang定理于局部环上的半单群，将元素从群提升至其最大紧子群。
• 该方法依赖于存在规范模型，以及de Rham上同调上相关的p-adic Hodge理论结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 在良好约化素数处，Hodge型Shimura簇特殊纤维上，μ-ordinary子集是否仍为开集且稠密？
• RQ2 在Hodge型情形下，μ-ordinary子集是否等于一般Ekedahl-Oort子集？
• RQ3 在缺乏模解释的情形下，能否将Newton子集与Ekedahl-Oort子集的相等性约化为群论性陈述？
• RQ4 在Hodge型情形下，确保μ-ordinary子集非空且稠密的条件是什么？
• RQ5 μ-ordinary子集中点的Dieudonné模在附加结构方面如何相互关联？

主要发现

• 在Hodge型Shimura簇积分模型的特殊纤维中，μ-ordinary子集与一般Ekedahl-Oort子集重合。
• 对于μ-ordinary子集中任意两个几何点，其关联的带附加结构的Dieudonné模彼此同构。
• μ-ordinary子集在特殊纤维中为开集且稠密，推广了PEL情形的结果。
• 通过涉及κ不变量的像与主导Newton向量的群论性准则，确立了μ-ordinary子集与一般Ekedahl-Oort子集的相等性。
• 应用Hodge-Newton分解，表明μ-ordinary元素的仿射Deligne-Lusztig集合与Levi子群中的对应集合同构。
• 该方法将分层相等性问题约化为对共特征族与σ作用条件的检验，从而实现对模理论设定之外情形的推广。