[论文解读] The Outer Limits of Contention Resolution on Matroids and Connections to the Secretary Problem

Shaddin Dughmi|arXiv (Cornell University)|Sep 10, 2019

Optimization and Search Problems参考文献 27被引用 2

一句话总结

本文将竞争化解的适用范围从乘积分布推广至任意的拟阵约束分布，通过一组 2|E| 个不等式刻画了 α-无竞争分布。该研究建立了在线竞争化解与拟阵秘书问题之间的紧密联系，表明具备竞争力的秘书问题算法可实现近乎最优的在线竞争化解，且在拟阵上改进元素分布为 O(1)-无竞争分布，为解决拟阵秘书问题猜想提供了新途径。

ABSTRACT

Contention resolution schemes have proven to be a useful and unifying abstraction for a variety of constrained optimization problems, in both offline and online arrival models. Much of prior work restricts attention to product distributions for the input set of elements, and studies contention resolution for increasingly general packing constraints, both offline and online. In this paper, we instead focus on generalizing the input distribution, restricting attention to matroid constraints in both the offline and online random arrival models. In particular, we study contention resolution when the input set is arbitrarily distributed, and may exhibit positive and/or negative correlations between elements. We characterize the distributions for which offline contention resolution is possible, and establish some of their basic closure properties. Our characterization can be interpreted as a distributional generalization of the matroid covering theorem. For the online random arrival model, we show that contention resolution is intimately tied to the secretary problem via two results. First, we show that a competitive algorithm for the matroid secretary problem implies that online contention resolution is essentially as powerful as offline contention resolution for matroids, so long as the algorithm is given the input distribution. Second, we reduce the matroid secretary problem to the design of an online contention resolution scheme of a particular form.

研究动机与目标

• 理解在任意相关输入分布下，拟阵上竞争化解的能力与局限性，突破标准乘积分布假设的限制。
• 刻画可在拟阵上实现 α-竞争性离线竞争化解的分布类别，将拟阵基覆盖定理推广至分布情形。
• 研究分布知识在竞争化解中的作用，特别是先验无关方案是否能实现非平凡的保证。
• 建立在线竞争化解与拟阵秘书问题之间的深层联系，证明两者竞争力的相互蕴含关系。
• 提供证据表明，竞争化解可能正是解决长期悬而未决的拟阵秘书问题猜想的关键。

提出的方法

• 通过一组 2|E| 个线性不等式（每个基集子集对应一个）对 α-无竞争分布进行刻画，将拟阵基覆盖定理推广至分布情形。
• 利用该不等式刻画，推导无竞争分布的闭包性质，并分析具有正相关与负相关的示例。
• 通过不可能性结果证明，任何先验无关的竞争化解方案，即使在有限样本下，也无法对所有 α-无竞争分布实现非平凡保证。
• 建立从拟阵秘书问题到特定形式在线竞争化解方案的归约，证明两者在竞争力上等价。
• 分析加权拟阵中改进元素的分布（由 Karger 定义），并利用刻画证明其为 O(1)-无竞争分布。
• 表明现有在线 CRS 算法在正相关分布（如改进元素集合）下表现失败，即使在随机到达顺序下，也因无法区分边际概率相等的元素而失效。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些任意分布可在拟阵元素上实现 α-竞争性离线竞争化解？其刻画方式为何？
• RQ2 对输入分布的了解在多大程度上影响竞争化解方案的竞争力？先验无关方案能否实现非平凡性能？
• RQ3 在线竞争化解与拟阵秘书问题之间存在何种关系？能否相互归约？
• RQ4 在不假设拟阵秘书问题猜想的前提下，能否证明加权拟阵中改进元素的分布为无竞争分布？
• RQ5 鉴于现有方法在正相关情况下的失败，是否需要开发新的算法技术以实现正相关下的在线竞争化解？

主要发现

• 当且仅当分布满足一组 2|E| 个线性不等式（每个基集子集对应一个）时，该分布为 α-无竞争分布，这将拟阵基覆盖定理推广至分布情形。
• 无竞争分布类在某些操作下具有闭包性质，例如混合与条件化，且包含具有正相关与负相关的分布。
• 任何能对所有 α-无竞争分布保证非平凡竞争力的竞争化解方案，必须访问完整分布；先验无关方案即使在有限样本下也无法实现此类保证。
• 拟阵秘书问题的 γ-竞争力算法意味着，对于任意 α-无竞争分布，在线竞争化解可实现 γα-竞争力，从而将两个问题紧密关联。
• 加权拟阵中改进元素的分布为 O(1)-无竞争分布，为解决拟阵秘书问题猜想提供了强有力候选。
• 现有在线竞争化解算法（包括依赖随机到达顺序的算法）在 k-均匀拟阵中对改进元素的选择概率无法优于 O(1/k)，原因在于边际概率对称性与不可区分性。