[论文解读] The outer spectral radius and dynamics of completely positive maps

J. E. Pascoe|arXiv (Cornell University)|May 23, 2019

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 23被引用 4

一句话总结

本文引入了外谱半径作为矩阵元组的联合谱半径的松弛形式，将其与完全正映射及量子通道的动力学联系起来。建立了外谱半径的Gelfand型公式，证明了退化的量子Perron-Frobenius定理，并表明完全正映射的迭代平均收敛到一个Kraus算子生成由原始算子生成的代数中的理想的映射。

ABSTRACT

We examine a special case of an approximation of the joint spectral radius given by Blondel and Nesterov, which we call the outer spectral radius. The outer spectral radius is given by the square root of the ordinary spectral radius of the $n^2$ by $n^2$ matrix $\sum{\overline{X_i}}\otimes{X_i}.$ We give an analogue of the spectral radius formula for the outer spectral radius which can be used to quickly obtain the error bounds in methods based on the work of Blondel and Nesterov. The outer spectral radius is used to analyze the iterates of a completely postive map, including the special case of quantum channels. The average of the iterates of a completely positive map approach to a completely positive map where the Kraus operators span an ideal in the algebra generated by the Kraus operators of the original completely positive map. We also give an elementary treatment of Popescu's theorems on similarity to row contractions in the matrix case, describe connections to the Parrilo-Jadbabaie relaxation, and give a detailed analysis of the maximal spectrum of a completely positive map.

研究动机与目标

• 通过外谱半径统一并扩展Blondel-Nesterov对联合谱半径的近似方法。
• 为外谱半径建立Gelfand型谱半径公式，从而在近似方法中提供误差界。
• 利用关联矩阵 $ \sum \overline{X_i} \otimes X_i $ 的谱性质，分析完全正映射（尤其是量子通道）的长期动力学。
• 对矩阵情形下Popescu的Rota-Strang理论（关于相似于行压缩算子）给出初等处理。
• 将外谱半径与Parrilo-Jadbabaie松弛方法联系起来，并分析 $ \sum X_i^{\otimes 2k} $ 的谱结构。

提出的方法

• 将外谱半径定义为 $ \hat{\rho}(X_1,\ldots,X_d) = \sqrt{ \rho\left( \sum \overline{X_i} \otimes X_i \right) } $，将其与Kronecker积矩阵的谱半径联系起来。
• 证明Gelfand型公式：$ \hat{\rho} = \lim_{k\to\infty} \sup_{\sum |a_{i_1\cdots i_k}|^2=1} \left\| \sum a_{i_1\cdots i_k} X_{i_1} \cdots X_{i_k} \right\|^{1/k} $，从而提供动力学解释。
• 构造一个Lyapunov矩阵 $ L $，使得 $ L - \sum X_i L X_i^* \geq 0 $，以帮助分析收敛性和谱结构。
• 利用 $ \psi $-对合与部分迹分析矩阵 $ T = \sum \overline{X_i} \otimes X_i $，表明其最大谱包含一个非负实特征值。
• 应用对称群的表示理论研究 $ \sum X_i^{\otimes 2k} $ 的不变子空间，将其与对称多项式联系起来。
• 将Parrilo-Jadbabaie松弛 $ \rho_{SR,2d} $ 重新解释为 $ \sum \tau_{X_i} $ 在次数为 $ 2k $ 的齐次多项式上的作用的谱半径。

实验结果

研究问题

• RQ1 外谱半径如何与完全正映射的迭代动力学（尤其是量子通道）相关联？
• RQ2 能否为外谱半径建立Gelfand型公式？其在近似方法误差界中的含义是什么？
• RQ3 $ \sum \overline{X_i} \otimes X_i $ 矩阵的谱结构是怎样的，特别是其最大谱与退化指标？
• RQ4 外谱半径如何与Parrilo-Jadbabaie松弛方法及矩阵的对称代数联系起来？
• RQ5 Lyapunov矩阵在刻画完全正映射迭代收敛性方面起什么作用？

主要发现

• 外谱半径满足Gelfand型公式：$ \hat{\rho}(X_1,\ldots,X_d) = \lim_{k\to\infty} \sup_{\sum |a_{i_1\cdots i_k}|^2=1} \left\| \sum a_{i_1\cdots i_k} X_{i_1} \cdots X_{i_k} \right\|^{1/k} $，从而提供动力学解释。
• 矩阵 $ T = \sum \overline{X_i} \otimes X_i $ 的最大谱包含一个非负实特征值 $ \lambda $，使得对所有其他特征值 $ \lambda' $ 都有 $ \lambda \geq |\lambda'| $，且仅当 $ \lambda $ 的退化指标更高或相等时等号成立。
• 完全正映射的迭代平均收敛到一个Kraus算子生成由原始Kraus算子生成的 $ C^* $-代数中的理想。
• 当 $ \hat{\rho} = 1 $ 且 $ X_i $ 生成 $ M_n(\mathbb{C}) $ 时，存在共轭变换可通过 $ V^{1/2} $ 和 $ W^{1/2} $ 将该映射转化为保恒等元或保迹的形式。
• 联合谱半径的谱半径可恢复为 $ \rho(X_1,\ldots,X_d) = \lim_{k\to\infty} \rho\left( \sum \tau_{X_i} \big|_{\mathbb{R}[e_1,\ldots,e_n]_{2k}} \right)^{1/2k} $，从而与多项式作用联系起来。
• 对应于 $ \sum X_i^{\otimes 2k} $ 最大特征值的特征子空间在置换下不变，在非退化情形下为一维，且由一个对称向量张成。