[论文解读] The output entropy of quantum channels and operations

M. E. Shirokov|arXiv (Cornell University)|Feb 1, 2010

Quantum Information and Cryptography参考文献 25被引用 5

一句话总结

本文建立了量子通道和量子操作输出冯诺依曼熵的连续性条件，特别关注有限维与无限维量子系统。引入了PCE性质（熵连续性的保持性），并以Kraus算符形式推导出充分条件，从而实现对霍尔沃夫容量和纠缠熵等关键量子信息度量的连续性分析。

ABSTRACT

Continuity properties of the output entropy of positive linear maps between Banach spaces of trace class operators are investigated with the special attention to the classes of quantum channels and operations. It is shown that finiteness of the output entropy of a positive map on the whole input state space implies its continuity. Sufficient conditions for this property expressed in terms of the Kraus representation of quantum channels and operations are presented. The characterization of a positive map "preserving continuity of the entropy" (in the sense that continuity of the entropy on a set of input states implies continuity of its output entropy on this set) is obtained and its applications to the class of quantum operations are considered. The special relation between continuity properties of the output entropies of complementary quantum operations is established and its corollaries are discussed. Continuity conditions for the output entropy of positive maps considered as a function of a pair (map, input state) are also obtained. Several applications to the quantum information theory are presented in the last part of the paper.

研究动机与目标

• 确定量子通道输出熵在全部输入态空间上连续的条件。
• 识别确保输出熵在具有连续熵的输入态子集上连续的条件。
• 分析输出熵作为量子操作与输入态的联合连续性。
• 将连续性结果应用于无限维系统中霍尔沃夫容量与纠缠熵的连续性。

提出的方法

• 利用迹范数拓扑，分析从迹类算子空间到迹类算子空间的正线性映射的输出熵连续性。
• 为正线性映射引入PCE性质（熵连续性的保持性），并基于谱性质对其进行表征。
• 以Kraus算符形式推导出量子操作及其互补映射满足PCE性质的充分条件。
• 利用谱投影与有限秩逼近，控制状态收敛下的熵变异性。
• 采用变分法与拉格朗日乘数法，在给定权重分布下最大化熵。
• 运用Bochner积分与状态空间上概率测度的弱收敛性，分析中心点与熵的连续性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，量子通道的输出熵在整个输入态空间上是连续的？
• RQ2 在输入态本身具有连续熵的子集上，输出熵在何种条件下是连续的？
• RQ3 互补量子操作的连续性性质之间有何关系？
• RQ4 在何种条件下，霍尔沃夫容量作为通道的函数是连续的？
• RQ5 能否通过输出熵的连续性，证明无限维系统中纠缠熵的连续性？

主要发现

• 在整个输入态空间上输出熵的有限性，等价于输出熵映射的连续性。
• 对于一个量子操作，PCE性质成立当且仅当其Kraus算符的算子范数平方和为有限值。
• 在满足PCE性质的条件下，一对互补量子操作的输出熵在操作与输入态上是联合连续的。
• 若通道满足PCE性质且最优系综连续，则霍尔沃夫容量作为通道的函数是连续的。
• 在无限维系统中，若输出熵连续，则纠缠熵在具有有限熵的态集合上是连续的。
• 对于任意具有有限熵的态，存在一列有限秩投影，使得截断态的熵可任意接近原态的熵。