[论文解读] The outside of the Teichmuller space of punctured tori in Maskit's embedding

Jouni Parkkonen|Annales Academiae Scientiarum Fennicae Mathematica|Jun 12, 1996

Geometric and Algebraic Topology被引用 8

一句话总结

本文研究了在单极点环面的Teichmüller空间的扩展Maskit嵌入中，哪些参数对应于Kleinian群。利用Keen、Series和Wright的方法，证明了在每条有理铺砌射线上，其在Maskit嵌入闭包之外的区域中存在一个参数序列，使得特殊字$W_{p/q}$成为本原椭圆Möbius变换，且这些群是作用在极点环面不变分量上的Kleinian群的变形空间的边界群。

ABSTRACT

We consider the following question: Which parameters in the extension of a rational pleating ray across the boundary of $\Cal M$, the Maskit embedding of the Teichmüller space of once punctured tori correspond to a Kleinian group? Using methods of Keen and Series and Wright we prove a local result, stating that on each rational ray there is a sequence of parameters in $\overline\Bbb H\setminus\Cal M$ accumulating at the boundary point of $\Cal M$ on the ray. These are the unique parameters on the extended $p/q$ ray for which the special word $W_{p/q}$ is a primitive elliptic Möbius transformation. We also show that the discrete groups with elliptic elements in the complement of $\overline{\Cal M}$ are boundary groups of deformation spaces of certain Kleinian groups representing a punctured torus on their invariant component.

研究动机与目标

• 确定单极点环面的Teichmüller空间的扩展Maskit嵌入中哪些参数产生Kleinian群。
• 分析Maskit嵌入边界之外的有理铺砌射线的行为。
• 在Maskit嵌入的闭包之外识别出具有椭圆元素的离散群。
• 将这些群表征为作用在极点环面不变分量上的Kleinian群的变形空间的边界群。

提出的方法

• 将Maskit嵌入$\mathcal{M}$的边界上的有理铺砌射线延伸至上半平面$\overline{\mathbb{H}} \setminus \mathcal{M}$。
• 应用Keen和Series关于双曲3-流形中铺砌轨迹与铺砌叶状结构的方法。
• 利用Wright对Möbius变换与字动力学的分析，研究沿扩展射线的特殊字$W_{p/q}$。
• 识别出使$W_{p/q}$成为本原椭圆变换的参数，表明存在离散群作用。
• 通过变形空间理论分析所得Kleinian群的动力学与几何结构。
• 建立此类群作为表示极点环面的Kleinian群的变形空间的边界群，其作用于不变分量上。

实验结果

研究问题

• RQ1 在扩展Maskit嵌入中，哪些参数对应于作用在黎曼球面上的Kleinian群？
• RQ2 在$\mathcal{M}$边界之外，特殊字$W_{p/q}$沿扩展的$p/q$射线会发生什么？
• RQ3 在$\overline{\mathbb{H}} \setminus \mathcal{M}$中是否存在具有椭圆元素的离散群？若存在，其特征是什么？
• RQ4 这些群与关联于极点环面的Kleinian群的变形空间有何关系？
• RQ5 Maskit嵌入的边界能否被实现为具有椭圆元素的离散群的极限？

主要发现

• 在每条有理铺砌射线上，存在一个参数序列位于$\overline{\mathbb{H}} \setminus \mathcal{M}$中，且在$\mathcal{M}$的边界点处收敛，使得特殊字$W_{p/q}$成为本原椭圆Möbius变换。
• 这些参数是扩展的$p/q$射线上唯一使$W_{p/q}$为本原椭圆变换的参数。
• 在$\overline{\mathbb{H}} \setminus \mathcal{M}$中具有椭圆元素的离散群是表示极点环面的Kleinian群的变形空间的边界群，其作用于不变分量上。
• 该构造提供了在Maskit嵌入闭包之外的离散群的局部表征。
• 结果确认了此类群趋近于$\mathcal{M}$的边界，且在几何上可实现为变形空间的极限。
• 分析确认，$W_{p/q}$作为Möbius变换的动力学是识别这些离散群的关键不变量。