[论文解读] The Overfull Conjecture on Split-Comparability Graphs

Jadder Bismarck de Sousa Cruz, Cândida Nunes da Silva+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 10, 2017

Advanced Graph Theory Research参考文献 6被引用 4

一句话总结

本文证明了当且仅当分裂可比图是邻域过度图时，其边色数为Δ(G)+1，从而验证了该类图的过度图猜想与Figueiredo-Meidanis-Mello猜想。该结果通过利用其结构特性和传递定向特征，建立了一个多项式时间算法，用于解决分裂可比图的边着色分类问题。

ABSTRACT

We show in this paper that a split-comparability graph $G$ has chromatic index equal to $Δ(G) + 1$ if and only if $G$ is neighborhood-overfull. That implies the validity of the Overfull Conjecture for the class of split-comparability graphs.

研究动机与目标

• 解决分裂可比图（弦图与分裂图的子类）的分类问题。
• 验证过度图猜想在分裂可比图中是否成立。
• 研究Figueiredo-Meidanis-Mello猜想在该图类中的有效性。
• 建立一个用于确定分裂可比图边色数的多项式时间算法。

提出的方法

• 通过团集Q的全序关系以及稳定集S中顶点的三种邻域类型（Sl、Sr、St）对分裂可比图进行刻画。
• 利用传递定向定义分裂可比图的结构，并推导其度数与边分布性质。
• 在子图G_l上使用贪心着色策略与顶点v的颜色集合ℓ(v)构造一种平衡边着色。
• 通过将ℓ(v)中未使用的颜色分配给Qr中顶点的未着色边，将部分着色扩展至整个图，确保无颜色冲突。
• 通过证明仅当Δ(G)-顶点v的闭邻域G[N[v]]为过度图时，Δ(G)-边着色才不可能实现，从而证明图属于Class 2当且仅当其为邻域过度图。
• 利用邻域过度图本质上属于Class 2的事实，以及分裂可比图满足Δ(G) > n/3的性质，使过度图猜想得以应用。

实验结果

研究问题

• RQ1 过度图猜想在分裂可比图中是否成立？
• RQ2 分裂可比图的边色数是否当且仅当其为邻域过度图时等于Δ(G)+1？
• RQ3 Figueiredo-Meidanis-Mello猜想在分裂可比图中是否成立？
• RQ4 分裂可比图的分类问题是否可在多项式时间内求解？

主要发现

• 每个分裂可比图均满足Δ(G) > n/3，满足过度图猜想所要求的条件。
• 分裂可比图的边色数为Δ(G)+1当且仅当其为邻域过度图，从而证明了核心结论。
• 过度图猜想在分裂可比图类中成立。
• Figueiredo-Meidanis-Mello猜想在分裂可比图中成立，因为它们是弦图，且当且仅当为邻域过度图时属于Class 2。
• 分裂可比图的分类问题可多项式时间求解，因为邻域过度图可在多项式时间内识别。
• 证明通过在诱导子图上使用平衡着色扩展方法，构造了非邻域过度图分裂可比图的Δ(G)-边着色。