[论文解读] The $\overline{\partial}$-equation on variable strictly pseudoconvex domains

Xianghong Gong, Kang‐Tae Kim|arXiv (Cornell University)|May 26, 2015

Holomorphic and Operator Theory参考文献 18被引用 3

一句话总结

本文在参数 $t \in [0,1]$ 参数化的变体严格拟凸域族上建立了 $\bar\partial$-方程解的内部与边界正则性。通过在空间变量与参数变量上采用 Hölder 与 Sobolev 型正则性，证明了解 $u^t$ 的存在性并实现了正则性提升：对于强拟凸域，正则性为 $C^{k+3/2,j}$；对于具有拟凸函数穷举的域，正则性为 $C^{k+1+\beta,j}$，将经典的 $\bar\partial$-理论推广至参数依赖情形。

ABSTRACT

We investigate regularity properties of the $\overline{\partial}$-equation on domains in a complex euclidean space that depend on a parameter. Both the interior regularity and the regularity in the parameter are obtained for a continuous family of pseudoconvex domains. The boundary regularity and the regularity in the parameter are also obtained for smoothly bounded strongly pseudoconvex domains.

研究动机与目标

• 在参数 $t \in [0,1]$ 连续变化的域族上，建立 $\bar\partial$-方程解的正则性。
• 将经典的 $\bar\partial$-正则性理论推广至变域情形，包括参数依赖的 Hölder 空间中的内部与边界正则性。
• 在域族满足几何与解析条件的前提下，证明 $\bar\partial u^t = f^t$ 的解 $u^t$ 在空间变量 $x$ 与参数变量 $t$ 上均具有正则性。
• 在参数化域的背景下解决 Cousin 问题，证明在适当正则性假设下，$C^{k+1/2,j}$ 与 $C^{k+\beta,j}$ 解的存在性。
• 通过拟凸函数穷举，将 $\bar\partial$-解理论推广至非紧致域与边界粗糙的域。

提出的方法

• 在全空间 $\bar{\mathcal{D}} = \bigcup_{t\in[0,1]} D^t \times \{t\}$ 上，为函数与微分形式族定义 Hölder 空间 $C^{\rho,j}(\bar{\mathcal{D}})$，同时纳入空间变量与参数变量的正则性。
• 引入一族拟凸统一穷举函数 $\{\rho^t\}$ 的概念。
• 使用一个 partition of unity $\{\psi^t\}$。
• 在参数化设定下应用 $\bar\partial$-Neumann 理论与 $L^2$-方法，利用域 $D^t$ 的 $C^{k+1,j}$ 边界正则性。
• 通过在局部平凡化上求解 $\bar\partial$-方程，并利用参数化设定下的 Cousin 问题技术进行粘合，证明解 $u^t$ 的存在性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当域 $D^t$ 沿参数 $t \in [0,1]$ 光滑变化时，$\bar\partial$-方程解的正则性是否能够保持？
• RQ2 在具有 $C^{k+2,j}$ 边界的强拟凸域族上，$\bar\partial u^t = f^t$ 的解 $u^t$ 在空间变量 $x$ 与参数变量 $t$ 上能达到何种正则性类？
• RQ3 当域族 $D^t$ 拥有一族拟凸穷举函数 $\{\rho^t\}$ 时，解的正则性如何变化？
• RQ4 在参数化设定下，是否能以 $C^{k+1/2,j}$ 或 $C^{k+\beta,j}$ 正则性求解第一与第二 Cousin 问题？
• RQ5 当数据 $f^t$ 与域族 $D^t$ 均属于 $C^{k+\beta,j}$ 空间时，解 $u^t$ 的正则性提升的精确程度为何？

主要发现

• 对于具有 $C^{k+2,j}$ 边界的光滑有界强拟凸域族，$\bar\partial u^t = f^t$ 的解 $u^t$ 存在且具有正则性 $C^{k+3/2,j}$。
• 当域 $D^t$ 允许一族拟凸穷举函数 $\{\rho^t\}$ 时，解 $u^t$ 的正则性可提升至 $C^{k+1+\beta,j}$。
• 在平面情形（$n=1$），边界正则性得到加强：若 $f^t \in C^{k+\beta,j}$，则解 $u^t$ 属于 $C^{k+\beta,j}$，正则性提升从 $k+3/2$ 改进为 $k+\beta$。
• 在 $C^{k+1,j}$ 边界正则性下，若过渡函数属于 $C^{k+1/2,j}$，则参数化域上的第一 Cousin 问题在 $C^{k+1/2,j}(\bar{\mathcal{D}})$ 中有解。
• 当域以 $C^{k+1,j}$ 边界参数化且数据属于 $C^{k+1/2,j}$ 时，第二 Cousin 问题在 $C^{k+1/2,j}$ 中可解，前提是过渡函数属于 $C^{k+1/2,j}$。
• 该结果可推广至通过拟凸穷举函数定义的非紧致域，允许边界粗糙或非光滑，如中心与半径依赖于 $t$ 的扩张球体示例。