[论文解读] The p-AAA algorithm for data driven modeling of parametric dynamical systems

Andrea Carracedo Rodriguez, Linus Balicki+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 14, 2020

Model Reduction and Neural Networks被引用 5

一句话总结

本文提出 p-AAA 算法，这是一种仅基于函数采样的数据驱动方法，用于对多变量参数化动态系统进行有理逼近。该方法将 AAA 算法扩展至多变量的重心有理形式，无需访问完整的状态空间模型，即可实现对标量和矩阵值传递函数的高精度降阶建模，在参数化 PDE 和动态系统的问题中均展现出 worst-case 情况下的高精度。

ABSTRACT

The AAA algorithm has become a popular tool for data-driven rational approximation of single variable functions, such as transfer functions of a linear dynamical system. In the setting of parametric dynamical systems appearing in many prominent applications, the underlying (transfer) function to be modeled is a multivariate function. With this in mind, we develop the AAA framework for approximating multivariate functions where the approximant is constructed in the multivariate barycentric form. The method is data-driven, in the sense that it does not require access to full state-space model and requires only function evaluations. We discuss an extension to the case of matrix-valued functions, i.e., multi-input/multi-output dynamical systems, and provide a connection to the tangential interpolation theory. Several numerical examples illustrate the effectiveness of the proposed approach.

研究动机与目标

• 开发一种数据驱动框架，用于近似参数化动态系统，其中仅可获得输入/输出测量值（传递函数采样值），而无法获得内部状态空间模型。
• 将原始用于单变量有理逼近的 AAA 算法扩展至多变量函数，采用多参数的重心有理形式。
• 通过插值和对采样数据的最小二乘拟合，实现对标量和矩阵值传递函数（如 MIMO 系统）的降阶建模。
• 即使在最坏参数配置下也确保精度，尤其适用于具有近奇异性或复杂参数依赖关系的问题。
• 为矩阵值逼近建立与切向插值理论的联系，使该方法在既有系统理论基础上具有理论根基。

提出的方法

• 该方法仅通过在选定参数点处的函数采样，构建多变量有理逼近的重心形式，避免了完整模型的重构。
• 采用贪心选择策略，迭代添加插值点，以在参数域内以最小二乘意义最小化逼近误差。
• 对于矩阵值系统（MIMO），该方法使用随机或结构化向量进行切向插值，以高效采样传递函数。
• 该算法支持真有理式和严格真有理式形式，各参数的阶数通过误差最小化自适应确定。
• 通过将解视为参数的多变量函数，该方法被应用于时域动态系统和稳态 PDE。
• 采用参数扫描评估最坏情况下的性能，验证了在完整参数域内的鲁棒性。

实验结果

研究问题

• RQ1 AAA 算法能否有效扩展至无需内部状态空间模型的参数化动态系统的多变量有理逼近？
• RQ2 p-AAA 方法仅使用采样数据时，对参数化系统的传递函数逼近精度如何，特别是在高维或病态参数区域？
• RQ3 该方法在矩阵值（MIMO）系统上的性能如何？与传统的基于投影的模型降阶方法相比表现如何？
• RQ4 该方法能否处理非仿射参数依赖关系以及参数域中的近奇异性等复杂参数行为？
• RQ5 在整个参数域中，最坏情况下的逼近误差如何变化？该方法是否能在具有挑战性的场景中保持精度？

主要发现

• p-AAA 算法仅通过函数采样即可实现对参数化传递函数的高精度逼近，无需内部系统矩阵。
• 对于具有 2401 个输出的二维 PDE，MIMO p-AAA 逼近在 $p=1.7545$，$z=2$ 处达到最坏情况误差 $3.11 \times 10^{-2}$，展现出鲁棒性。
• 在具有近奇异性的更具挑战性的 PDE 中，最坏情况误差为 $7.28 \times 10^{-2}$，算法通过选择更高阶次（$q=5$，$o=6$）捕捉复杂行为。
• 该方法通过黑箱采样成功捕捉了具有非仿射参数依赖关系的参数化 PDE 的全参数域解。
• 重心有理形式即使在参数敏感性高或存在近奇异性区域，也能实现稳定且精确的插值。
• 与切向插值理论的联系为矩阵值情形提供了理论基础，确保与既有模型降阶原理的一致性。