[论文解读] The p-adic analytic subgroup theorem and applications

Tzanko Matev|arXiv (Cornell University)|Oct 15, 2010

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 7被引用 7

一句话总结

本文建立了Wüstholz的解析子群定理的p进数类比，证明了若一个代数点的p进对数位于其李代数的一个有理子空间中，则该点属于一个其李代数包含于该子空间的代数子群。关键应用表明，对于在雅可比簇中嵌入且Mordell-Weil秩为1的亏格≥2的曲线，其有理点的p进闭包与曲线横截相交，从而为秩1情形下Chabauty方法提供了理论依据。

ABSTRACT

We prove a p-adic analogue of Wüstholz's analytic subgroup theorem. We apply this result to show that a curve embedded in its Jacobian intersects the p-adic closure of the Mordell-Weil group transversely whenever the latter has rank equal to 1. This allows us to give some theoretical justification to Chabauty techniques applied to finding rational points on curves whose Jacobian has Mordel-Weil group of rank 1.

研究动机与目标

• 建立数域上阿贝尔代数群的Wüstholz解析子群定理的p进数类比。
• 将该定理应用于通过Chabauty方法寻找代数曲线上有理点的问题。
• 为Mordell-Weil秩为1时Chabauty型算法的终止性提供理论依据。
• 在p进对数独立性的背景下，解决单个但非绝对单个阿贝尔簇的情形。
• 证明Mordell-Weil群秩为1的曲线上有理点与该群有理点的p进闭包的交点是孤立的。

提出的方法

• 通过用对数映射替代指数映射，并使用p进数估计替代复数估计，将Wüstholz定理的复分析证明方法适配到p进数设定中。
• 在代数点处构造具有高阶零点的层截面，并通过p进数设定下的重数估计导出矛盾。
• 使用在点的幂次趋于单位元时定义的p进对数映射，确保在p进数设定下全局定义。
• 应用Mahler关于p进解析函数的定理，以有理整数点处的函数p进大小为界，从而得到p进赋值的上界。
• 运用刘维尔不等式，推导出辅助多项式非零值的p进大小的下界。
• 将函数在点的幂次处取值的p进范数的上下界结合，除非该点为扭点，否则导出矛盾。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于阿贝尔代数群，Wüstholz解析子群定理是否存在p进数类比？
• RQ2 该p进数定理能否用于证明曲线与其中Mordell-Weil群p进闭包之间交点的横截性？
• RQ3 在应用p进对数独立性时，对于单个但非绝对单个阿贝尔簇的情形，结果如何？
• RQ4 在比先前已知更弱的假设下，是否能保证Chabauty型算法在有理点问题上的终止性？
• RQ5 当Mordell-Weil秩为1时，曲线的p进完备化与有理点p进闭包的交点是否为横截的？

主要发现

• p进数解析子群定理成立：若一个代数点的对数位于其李代数的一个有理子空间中，则该点属于一个其李代数包含于该子空间的代数子群。
• 对于定义在Q上的曲线C，若其嵌入雅可比簇J且J为单个的，Mordell-Weil秩为1，则C在每个有理点处与J(Q)的p进闭包横截相交。
• 曲线上每个有理点都有一个p进邻域，使得其与J(Q)的p进闭包的交点为单个点。
• 在仅假设Stoll主猜想的前提下，秩为1的曲线的改进Chabauty算法可保证终止，无需额外猜想。
• 证明表明，非扭点不可能位于一维p进李子空间中，除非其生成一个扭子群，这在辅助函数论证中导致矛盾。
• p进重数估计与辅助多项式的高度界导致矛盾，当假设非扭点满足对数条件时，从而证明了主要结果。