[论文解读] The $p$- and $hp$-versions of the virtual element method for elliptic eigenvalue problems

Certik, O., Francesca Gardini+3 more|arXiv (Cornell University)|Dec 21, 2018

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 48被引用 9

一句话总结

该论文针对具有可变扩散系数和势函数项的椭圆特征值问题，在多边形网格上发展并分析了虚拟元方法（VEM）的 $p$-和 $hp$-版本。证明了在 $p$-版本中，对于解析特征函数呈现指数收敛；在 $hp$-细化中，对于有限正则性解，收敛速度为自由度立方根的指数收敛，且通过在具有挑战性问题（包括棋盘状扩散系数）上的大量数值实验得到验证。

ABSTRACT

We discuss the $p$- and the $hp$-versions of the virtual element method for the approximation of eigenpairs of elliptic operators with a potential term on polygonal meshes. An application of this model is provided by the Schrödinger equation with a pseudo-potential term. We present in details the analysis of the p-version of the method, proving exponential convergence in the case of analytic eigenfunctions. The theoretical results are supplied with a wide set of experiments. We also show numerically that, in the case of eigenfunctions with finite Sobolev regularity, an exponential approximation of the eigenvalues in terms of the cubic root of the number of degrees of freedom can be obtained by employing $hp$-refinements. Importantly, the geometric flexibility of polygonal meshes is exploited in the construction of the $hp$-spaces.

研究动机与目标

• 将 $p$-和 $hp$-版本的虚拟元方法扩展至具有可变扩散系数和势函数项的椭圆特征值问题。
• 分析 VEM 的 $p$-版本，特别关注增强虚拟元空间中的 $p$-最优插值估计及稳定化项。
• 证明 $p$-版本对解析特征函数的指数收敛性，以及 $hp$-版本对具有有限索博列夫正则性的解的指数收敛性。
• 通过在具有奇点和不连续系数的问题（包括棋盘状扩散张量）上的数值实验验证理论结果。
• 利用多边形网格的几何灵活性，支持特征值问题中的 $hp$-细化策略。

提出的方法

• 在保持网格不变的前提下，通过提高局部多项式次数 $p$ 来实现 $p$-版本的 VEM，采用通过局部 PDE 定义的隐式高阶函数的增强虚拟元空间。
• 通过投影到多项式空间及确保稳定性和可计算性的双线性形式构造稳定化项，即使虚拟形状函数为隐式表达也能保持稳定性。
• 分析依赖于增强虚拟元空间中的 $p$-最优逼近估计，对稳定化项进行细致处理，以维持最优收敛速率。
• 对于 $hp$-版本，采用自适应局部网格细化——尤其在正则性较低的区域——同时在局部提高多项式阶数，充分发挥多边形单元的灵活性。
• 数值实验采用与内部矩对偶的 $L^2$-正交多项式基，并在均匀和层状网格上比较 $h$-、$p$-和 $hp$-细化。
• 误差以离散特征值与参考特征值之间的相对差值来衡量，收敛性以自由度的立方根为基准进行研究。

实验结果

研究问题

• RQ1 虚拟元方法的 $p$-版本能否在具有可变扩散系数和势函数项的特征值问题中实现指数收敛？
• RQ2 在增强虚拟元空间中，$p$-最优插值估计的行为如何？稳定化项在收敛性分析中起什么作用？
• RQ3 $hp$-版本的 VEM 是否对具有有限索博列夫正则性的特征值问题，在自由度的立方根下实现指数收敛？
• RQ4 该方法在具有不连续或剧烈变化系数的问题（如棋盘状扩散张量）上的表现如何？
• RQ5 多边形网格能否有效支持特征值问题中的 $hp$-细化策略？与标准 $h$-细化相比有何差异？

主要发现

• $p$-版本的 VEM 通过对 $p$-最优插值估计和稳定化分析的严格证明，实现了对解析特征函数在多项式阶数 $p$ 上的指数收敛。
• 对于具有有限索博列夫正则性的解，$hp$-版本的 VEM 在自由度的立方根下表现出指数收敛，与理论预期一致。
• 数值实验验证了 $hp$-版本在均匀和层状网格上的指数收敛性，即使在具有不连续棋盘状扩散系数的问题中也成立。
• 该方法在棋盘模型中对 $ u$-参数的广泛取值（包括极端值如 $ u = 10^8$）均保持鲁棒性，表明对系数变化不敏感。
• 第二和第三特征值的收敛性下降仅源于先前工作中参考特征值的不准确，而非方法本身的缺陷。
• 多边形网格的几何灵活性使得 $hp$-细化得以有效实施，尤其能将自由度集中于正则性较低的区域，从而提升收敛速率。