[论文解读] The $p$-CurlCurl : Spaces, traces, coercivity and a Helmholtz decomposition in $L^p$

Marc Laforest|arXiv (Cornell University)|Aug 17, 2018

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 24被引用 5

一句话总结

本文为p-CurlCurl问题建立了L^p框架，该问题是高温超导体建模中p-Laplacian的旋转类比。通过一种新颖的Helmholtz分解和L^p空间中的Friedrich不等式，证明了弱解的存在性与唯一性，将经典的H(curl)与H(div)理论推广至非线性、非一致椭圆的设定，并适用于C^1边界。

ABSTRACT

This work provides the foundation for the finite element analysis of an elliptic problem which is the rotational analogue of the $p$-Laplacian and which appears as a model of the magnetic induction in a high-temperature superconductor operating near it's critical current. Whereas the function theory for the $p$-Laplacian requires standard results in $L^p$ Sobolev spaces, this problem requires an extension to $L^p$ spaces of the well-known $L^2$ theory for divergence free vector fields, as used in the finite element method applied to incompressible flows and electromagnetic radiation. Among other things, the analysis requires extensions to $L^p$ of the well-known $H(\operatorname{div}; Ω)$ and $H(\operatorname{curl};Ω)$, extensions of traces and Green's theorem, a Helmholtz decomposition and finally a Friedrich's inequality. In this paper, we provide a proof of the existence and uniqueness of weak solutions of our so-called $p$-CurlCurl problem. In a companion paper, the analysis is extended to treat continuous and finite element solutions of the nonlinear parabolic problem whose spatial term is the $p$-CurlCurl operator. Many of the results presented here are either already known, known in slightly different forms or are proven with the help of techniques that are already well-known. The main novelty of this paper appears to be the structured form of this $L^p$ theory and our form of the Helmholtz decomposition and of the Friedrich's inequality. In this respect, we note that some of these results can be found in the works of M. Dauge, M. Mitrea and I. Mitrea.

研究动机与目标

• 为有界域中具有C^1边界条件的p-CurlCurl算子建立完整的L^p泛函分析框架，该算子是p-Laplacian的旋转类比。
• 将经典的H(curl)与H(div)空间、迹算子及格林公式推广至L^p空间，其中p ∈ (1, ∞)，尤其关注超导体中相关的较大p值。
• 在L^p空间中建立一种新型Helmholtz分解与Friedrich不等式，这对于证明强制性与弱解的存在性至关重要。
• 证明具有切向边界条件与无散度约束的静止p-CurlCurl问题弱解的存在性与唯一性。
• 为从事超导体中非线性电磁模型的应用数学家与工程师提供一份自包含且易于理解的参考文献。

提出的方法

• 通过Sobolev嵌入与对偶性，将基于L^2的H(curl)与H(div)理论扩展至L^p空间，定义了具有适当范数的W^p(curl; Ω)与W^p(div; Ω)空间。
• 通过双重性与迹定理，将迹算子与格林恒等式推广至L^p空间，依赖于C^1边界正则性以确保有界性与满射性。
• 在H(div)的L^p类比空间上构造了一种新颖的Helmholtz分解，将向量场分解为无旋与无散分量，且适用于W^p(curl; Ω)空间。
• 在L^p空间中证明了Friedrich不等式对旋度算子的成立，提供了关键的强制性估计，即通过W^p(curl)半范数控制旋度的L^p范数。
• 证明了p-CurlCurl算子在空间X₀ = {u ∈ W^p(curl; Ω) : ∇·u = 0, n×u = 0 on ∂Ω} 上是半连续、强单调且强制的，从而可应用单调算子理论。
• 通过Lions–Lax–Milgram定理与单调算子理论，建立了弱解的存在性与唯一性，并证明其逆算子是连续的。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将经典的H(curl)与H(div)理论从L^2空间推广至L^p空间（p > 1），特别是针对较大的p值？
• RQ2 在L^p空间中，特别是受限于无散向量场时，Helmholtz分解的合适形式是什么？
• RQ3 是否可以在L^p空间中为旋度算子建立Friedrich不等式？其与p-CurlCurl算子强制性的关系如何？
• RQ4 在具有C^1边界的有界域中，p-CurlCurl问题弱解的存在性与唯一性需满足何种条件？
• RQ5 如何以类似于p-Laplacian的方式，对非线性p-CurlCurl算子进行变分分析，同时考虑其旋转结构？

主要发现

• 对于p ≥ 2及具有C^1边界的有界域，p-CurlCurl问题在空间X₀ = {u ∈ W^p(curl; Ω) : ∇·u = 0, n×u = 0 on ∂Ω} 中存在唯一弱解。
• 在L^p空间中证明了一种新型Helmholtz分解，将W^p(curl; Ω)中的向量场分解为梯度分量与无散分量，且适配于L^p设定。
• 在L^p空间中为旋度算子建立了Friedrich不等式，提供了强制性估计：‖∇×u‖_{L^p}^p ≤ C‖u‖_{W^p(curl)}^p，其中u ∈ X₀。
• 由(A u, v) = ∫_Ω |∇×u|^{p-2} ∇×u · ∇×v dx 定义的算子A是半连续、强单调且强制的，因此可通过单调算子理论保证解的存在性与唯一性。
• 逆算子A⁻¹是连续的，意味着解关于X₀’中数据S的稳定性。
• 该分析为抛物型p-CurlCurl问题的有限元方法提供了理论基础，本文聚焦于椭圆情形。