[论文解读] The $p$-parity conjecture for elliptic curves with a $p$-isogeny

Kęstutis Česnavičius|arXiv (Cornell University)|Jul 2, 2012

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 13被引用 3

一句话总结

本文证明了具有 $p$-同源的椭圆曲线在数域上的 $p$-奇偶性猜想，消除了此前对 $p$ 上方素点处半稳定约化的要求，从而完成了对所有 $p > 3$ 的猜想证明。证明依赖于在非半稳定情形下建立局部根数的猜想公式，并适用于复乘椭圆曲线，表明若 $p$-主 Shafarevich-Tate 群无限，则其必须作为直和项包含 $ackslash mathbb{Q}_p/ackslash mathbb{Z}_p$ 两次。

ABSTRACT

For an elliptic curve $E$ over a number field $K$, one consequence of the Birch and Swinnerton-Dyer conjecture is the parity conjecture: the global root number matches the parity of the Mordell-Weil rank. Assuming finiteness of $\\mathrm{Sha}(E/K)[p^\\infty]$ for a prime $p$ this is equivalent to the $p$-parity conjecture: the global root number matches the parity of the $\\mathbb{Z}_p$-corank of the $p^\\infty$-Selmer group. We complete the proof of the $p$-parity conjecture for elliptic curves that have a $p$-isogeny for $p > 3$ (the cases $p \\le 3$ were known). T. and V. Dokchitser have showed this in the case when $E$ has semistable reduction at all places above $p$ by establishing respective cases of a conjectural formula for the local root number. We remove the restrictions on reduction types by proving their formula in the remaining cases. We apply our result to show that the $p$-parity conjecture holds for every $E$ with complex multiplication defined over $K$. Consequently, if for such an elliptic curve $\\mathrm{Sha}(E/K)[p^\\infty]$ is infinite, it must contain $(\\mathbb{Q}_p/\\mathbb{Z}_p)^2$.

研究动机与目标

• 在数域上完成对具有 $p$-同源的椭圆曲线的 $p$-奇偶性猜想的证明，消除此前对 $p$ 上方素点处半稳定约化的要求。
• 在非半稳定约化情形下建立局部根数的猜想公式，从而推广Dokchitser与Dokchitser的结果。
• 证明所有定义在数域 $K$ 上的具有复乘的椭圆曲线的 $p$-奇偶性猜想，无论 $p$ 为何值。
• 推导出：若此类曲线的 $\Sha(E/K)[p^\infty]$ 无限，则其必须包含 $\mathbb{Q}_p/\mathbb{Z}_p$ 作为直和项，且重数至少为二。

提出的方法

• 利用伽罗瓦表示与局部类域论，证明非半稳定约化情形下局部根数的猜想公式。
• 将该公式应用于将 $p$-奇偶性猜想推广至所有 $p$-同源情形，通过验证全局根数与 $p^\infty$-Selmer 群的 $\mathbb{Z}_p$-秩一致。
• 利用 $p$-奇偶性猜想在奇数次伽罗瓦扩张下不变的性质，将问题约化为在这些扩张上获得 $p$-同源的曲线情形。
• 应用 Hecke 特征与复乘理论，证明在数域 $K$ 上，CM 椭圆曲线的全局根数为 $1$。
• 利用 $p$-Selmer 秩与根数在同源下不变的性质，将问题约化为曲线在 $\mathcal{O}_F$ 上作用最大的情形。
• 通过虚二次域 $F$ 在 $p$-进 Tate 模上的作用分析 $p^\infty$-Selmer 群的 $\mathbb{Z}_p$-秩。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $p$-进位置的约化非半稳定时，具有 $p$-同源的椭圆曲线的 $p$-奇偶性猜想是否成立？
• RQ2 非半稳定情形下局部根数的猜想公式是否可被证明，从而确立 $p$-奇偶性猜想？
• RQ3 所有定义在数域 $K$ 上的具有复乘的椭圆曲线的 $p$-奇偶性猜想是否成立？
• RQ4 若 $K$ 上的 CM 椭圆曲线满足 $\Sha(E/K)[p^\infty]$ 无限，则其结构如何？

主要发现

• 对任意具有 $p$-同源的椭圆曲线，其在数域 $K$ 上的 $p$-奇偶性猜想对所有 $p > 3$ 成立，且无需要求在 $p$ 上方素点处为半稳定约化。
• 在非半稳定情形下，局部根数的猜想公式得以确立，从而完成了 Dokchitser 与 Dokchitser 对 $p > 3$ 的工作。
• 对任意定义在 $K$ 上的具有复乘的椭圆曲线，由于全局根数为 $1$，且在 $p$-分裂或惰性情形下 $p$-Selmer 秩为偶数，因此对所有素数 $p$，$p$-奇偶性猜想成立。
• 若 $K$ 上的 CM 椭圆曲线满足 $\Sha(E/K)[p^\infty]$ 无限，则其必须作为直和项包含 $\mathbb{Q}_p/\mathbb{Z}_p$，且重数至少为二。
• $p$-奇偶性猜想在奇数次伽罗瓦扩张下不变，因此对在这些扩张上获得 $p$-同源的曲线也成立。
• $p$-进 Selmer 群的 $\mathbb{Z}_p$-秩在 $p$ 惰性或分歧于 CM 域时为偶数，且当 $p$ 分裂或分歧时与根数一致，这是由于存在 $p$-同源。