[论文解读] The $P^\prime$-operator, the $Q^\prime$-curvature, and the CR tractor calculus

Jeffrey S. Case, A. Rod Gover|arXiv (Cornell University)|Sep 23, 2017

Holomorphic and Operator Theory参考文献 35被引用 5

一句话总结

本文提出了一套CR拖物微分几何算法，用于计算伪爱因斯坦流形上的$P^\prime$-算子、$Q^\prime$-曲率以及CR GJMS算子。证明了在这些流形上$Q^\prime$-曲率是常数，并在五维情形下推导出显式的局部公式，揭示了Burns–Epstein不变量的不变性性质以及CR几何中次不变量结构的新见解。

ABSTRACT

We establish an algorithm which computes formulae for the CR GJMS operators, the $P^\prime$-operator, and the $Q^\prime$-curvature in terms of CR tractors. When applied to torsion-free pseudo-Einstein contact forms, this algorithm both gives an explicit factorisation of the CR GJMS operators and the $P^\prime$-operator, and shows that the $Q^\prime$-curvature is constant, with the constant explicitly given in terms of the Webster scalar curvature. We also use our algorithm to derive local formulae for the $P^\prime$-operator and $Q^\prime$-curvature of a five-dimensional pseudo-Einstein manifold. Comparison with Marugame's formulation of the Burns--Epstein invariant as the integral of a pseudohermitian invariant yields new insights into the class of local pseudohermitian invariants for which the total integral is independent of the choice of pseudo-Einstein contact form.

研究动机与目标

• 开发一种系统性算法，利用CR拖物微分几何计算CR GJMS算子、$P^\prime$-算子和$Q^\prime$-曲率。
• 在无 torsion 的伪爱因斯坦接触形式上，建立CR GJMS算子与$P^\prime$-算子的显式因式分解。
• 证明在伪爱因斯坦流形上$Q^\prime$-曲率是常数，并以Webster标量曲率表示该常数。
• 在五维情形下推导$P^\prime$-算子与$Q^\prime$-曲率的局部显式公式。
• 阐明总$Q^\prime$-曲率的不变性性质及其在高维情形下与Burns–Epstein不变量的关系。

提出的方法

• 作者构建了CR拖物微分几何框架，以CR不变且几何自然的方式表达微分算子与曲率不变量。
• 利用CR拖物丛及其联络，推导出在接触形式变换下$P^\prime$-算子与$Q^\prime$-曲率的变换规律。
• 该算法通过涉及Weyl张量、Schouten张量及曲率收缩的拖物表达式，计算$P^\prime$-算子与$Q^\prime$-曲率。
• 该方法适用于伪爱因斯坦接触形式，其中证明了$P^\prime$-算子与$Q^\prime$-曲率满足涉及$P_{2n+2}$与$P^\prime(\Upsilon)$的特定变换规律。
• 在五维情形下，作者通过利用伪爱因斯坦条件将一般拖物表达式约化为标量不变量，推导出显式的局部公式。
• 分析了$Q^\prime$-曲率在共形重标度下的变换性质，并利用$P_{2n+2}$与$P^\prime$的自伴性，建立了其总积分的不变性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在伪爱因斯坦流形上，通过CR拖物微分几何系统地计算$P^\prime$-算子与$Q^\prime$-曲率？
• RQ2 在伪爱因斯坦接触形式改变下，$Q^\prime$-曲率的精确变换规律是什么？它与$P^\prime$-算子有何关系？
• RQ3 在伪爱因斯坦流形上，$Q^\prime$-曲率是否为常数？若是，该常数如何确定？
• RQ4 在五维情形下，$P^\prime$-算子与$Q^\prime$-曲率的行为如何？它们与Burns–Epstein不变量有何关系？
• RQ5 如Hirachi所猜想，$Q^\prime$-曲率是否可分解为常数倍的$Q^\prime$、一个局部CR不变量与一个散度之和？

主要发现

• 在任意伪爱因斯坦流形上，$Q^\prime$-曲率是常数，且该常数可显式用Webster标量曲率表示。
• 当接触形式无 torsion 且为伪爱因斯坦时，$P^\prime$-算子与CR GJMS算子可通过CR拖物微分几何实现显式因式分解。
• 在五维情形下，$P^\prime$-算子与$Q^\prime$-曲率可通过涉及Weyl张量、Schouten张量及曲率收缩的局部公式表达。
• 总$Q^\prime$-曲率是次不变量：其值不依赖于伪爱因斯坦接触形式的选择，但并非CR不变量。
• 在五维情形下，$Q^\prime$-曲率通常不等于Burns–Epstein不变量，表明其与三维情形存在根本性差异。
• 证明了不变量$\mathcal{I}^\prime$与一个CR不变的1-形式$X_\gamma$相关，其变换规律暗示了在CR平直调和函数上具有形式自伴性。