[论文解读] The pair-flip model: a very entangled translationally invariant spin chain

Libor Caha, Daniel Nagaj|arXiv (Cornell University)|May 18, 2018

Quantum many-body systems参考文献 41被引用 13

一句话总结

本文介紹了成對翻轉（PF）模型，一種具有最近鄰相互作用的平移不變、無 frustration 的 qudit 自旋鏈，其基態具有高量子關聯熵，當 d≥3 時熵的增長為 √n，而對於 qubit（d=2）則為 log n，同時維持反多項式能隙。該模型使用重寫哈密頓量，包含成對產生與成對翻轉規則，作者猜想微小的擾動可解除 degeneracy，同時保持關聯熵的增長特性。

ABSTRACT

Investigating translationally invariant qudit spin chains with a low local dimension, we ask what is the best possible tradeoff between the scaling of the entanglement entropy of a large block and the inverse-polynomial scaling of the spectral gap. Restricting ourselves to Hamiltonians with a "rewriting" interaction, we find the pair-flip model, a family of spin chains with nearest neighbor, translationally invariant, frustration-free interactions, with a very entangled ground state and an inverse-polynomial spectral gap. For a ground state in a particular invariant subspace, the entanglement entropy across a middle cut scales as $\log n$ for qubits (it is equivalent to the XXX model), while for qutrits and higher, it scales as $\sqrt{n}$. Moreover, we conjecture that this particular ground state can be made unique by adding a small translationally-invariant perturbation that favors neighboring letter pairs, adding a small amount of frustration, while retaining the entropy scaling.

研究动机与目标

• 探討低維度、平移不變自旋鏈中關聯熵增長與反多項式能隙之間的權衡。
• 構建一個無 frustration、平移不變的哈密頓量，使用最小的局部維度實現高基態關聯熵。
• 研究是否可透過微小、平移不變的擾動使高度關聯的基態唯一化，而不改變關聯熵的增長方式。
• 識別接近關聯與能隙增長極限的模型，與 NLTS 猜想及量子複雜性相關。

提出的方法

• 設計一種重寫哈密頓量，使用最近鄰、平移不變的投影算符項，強制在 qudit 上執行成對翻轉與成對產生規則。
• 針對 d=2（qubit）、d=3（qutrit）及更高維度構建模型，形式化方法受 Motzkin 與 Fredkin 鏈啟發，但不包含移動項。
• 利用組合詞模型分析基態子空間，其中配置對應於 qudit 狀態序列及其相鄰對。
• 結合數值與分析方法，計算完全可簡化的詞中相鄰對數量的平均值與變異數，顯示其集中在與 n 成比例的平均值附近。
• 施加偏好相鄰對的擾動以打破 degeneracy，並猜想在小、平移不變的擾動下，關聯熵增長特性仍具魯棒性。
• 利用對稱性與重寫規則，主張可透過其他技術獲得譜能隙的更緊緻下界。

实验结果

研究问题

• RQ1 無 frustration、平移不變的自旋鏈，其局部維度低（d=2,3）時，能否實現高關聯熵增長，同時維持反多項式能隙？
• RQ2 此類模型中，可能達到的最大關聯熵增長為何？其與 qudit 維度 d 的關係為何？
• RQ3 對於 d≥3 時具有 √n 關聯熵的簡併基態，能否透過微小、平移不變的擾動使其唯一化，而不改變關聯熵增長方式？
• RQ4 PF 模型的關聯熵與 Motzkin 或 Fredkin 鏈等已知模型相比，其結構與魯棒性如何？
• RQ5 是否可構造類似於變形 Motzkin/Fredkin 鏈的 PF 模型參數化變形，並保持關鍵性質？

主要发现

• 對於三態及以上（d≥3）的系統，基態在中心切分處的關聯熵增長為 √n，顯著超過 qubit 鏈中見到的 log n。
• 對於 qubit（d=2），關聯熵增長為對數形式 log n，與 XXX 模型及其他臨界系統一致。
• PF 模型的能隙隨系統尺寸以反多項式方式收斂，與臨界或近臨界行為一致。
• 數值證據顯示，完全可簡化的詞中相鄰對數量的分佈緊密集中於 3(n+1)/4 附近，變異數為 O(√n)，顯示其平均結構具有魯棒性。
• 作者猜想，加入偏好相鄰對的小、平移不變擾動，可解除 degeneracy，同時保持 d≥3 時 √n 關聯熵增長。
• 該模型真正實現平移不變與無 frustration，與 Motzkin 及 Fredkin 鏈不同，後者需邊界項才能打破 degeneracy。