[论文解读] The Papapetrou equations and supplementary conditions

O. B. Karpov|ArXiv.org|Jun 1, 2004

Relativity and Gravitational Theory被引用 3

一句话总结

本文对广义相对论中自旋物体的Papapetrou方程进行了比较分析，评估了不同附加条件（如Pirani、Dixon和Corinaldesi）对运动方程的影响。结果表明，后牛顿近似下的自旋-轨道力依赖于附加条件的选择，而牛顿第三定律仅在特定条件下（如Corinaldesi条件）成立，突显了运动的相对性以及理论中某些假设的物理不一致性。

ABSTRACT

On the bases of the Papapetrou equations with various supplementary conditions and other approaches a comparative analysis of the equations of motion of rotating bodies in general relativity is made. The motion of a body with vertical spin in a circular orbit is considered. An expression for the spin-orbit force in a post-Newtonian approximation is investigated.

研究动机与目标

• 分析不同附加条件对广义相对论中自旋物体Papapetrou运动方程的影响。
• 研究在弯曲时空下不同世界线定义（如质心、静止参考系）的物理一致性。
• 评估牛顿第三定律和运动相对性在不同附加条件下的满足程度。
• 阐明四维速度、动力学四维速度和自旋张量在定义自旋物体质心和运动中的作用。
• 澄清Papapetrou方程物理有效性的长期争议，以及特定附加条件的适用性。

提出的方法

• 使用四维动量 $ P^eta $ 和自旋张量 $ S^{etaeta} $ 推导Papapetrou方程，其中黎曼张量 $ R^{eta}{}_{etaetaeta} $ 与自旋耦合。
• 应用多种附加条件：Pirani（$ S^{etaeta} u_eta = 0 $）、Dixon（$ S^{etaeta} P_eta = 0 $）、Corinaldesi（$ S^{etaeta} au_eta = 0 $，其中 $ au^eta $ 为基灵矢量）。
• 利用后牛顿近似计算自旋-轨道力，并分析其对附加条件参数 $ \sigma $ 的依赖性。
• 比较双星系统中两物体所受的力 $ \bm{F}_1 $ 和 $ \bm{F}_2 $，表明牛顿第三定律仅在 $ \sigma = 1 $（Corinaldesi）时成立。
• 引入将黎曼张量分解为电部分和磁部分 $ E $ 和 $ B $ 的变换框架，并推导其在洛伦兹提升下的变换规律。
• 分析具有垂直自旋的物体在圆轨道中的运动，表明质心速度依赖于附加条件的选择。

实验结果

研究问题

• RQ1 附加条件的选择如何影响Papapetrou方程后牛顿近似下的自旋-轨道力？
• RQ2 在自旋物体的广义相对论双体问题中，牛顿第三定律在何种条件下成立？
• RQ3 为何尽管Pirani附加条件被广泛使用，仍被认为在物理上存在问题？
• RQ4 不同质心定义（如本征质心、静止参考系中的质心）如何影响自旋物体在弯曲时空中的运动？
• RQ5 当对Papapetrou方程应用不同附加条件时，运动的相对性在多大程度上得以保持？

主要发现

• 后牛顿极限下的自旋-轨道力明确依赖于附加条件参数 $ \sigma $，其中Corinaldesi条件（$ \sigma = 1 $）是唯一满足牛顿第三定律的条件。
• 牛顿第三定律仅在 $ \sigma = 1 $ 时成立，对应于Corinaldesi附加条件；当 $ \sigma = 0 $（Pirani）时，两物体所受的力不满足 $ \bm{F}_2 = -\bm{F}_1 $。
• 当条件 $ P^eta \propto u^eta $ 被违反时，Papapetrou方程在物理上不一致，因为这会导致质心出现非物理运动。
• 本征质心（通过 $ S^{etaeta} P_eta = 0 $ 定义）即使在平直时空下也相对于静止参考系运动，表明存在非平凡的运动学结构。
• 黎曼张量的电部分和磁部分在洛伦兹提升下非平凡地变换，线性速度近似下满足 $ E'_{ij} = E_{ij} + 2v^l \epsilon_{lki} B^k_j $ 和 $ B'_{ij} = B_{ij} - 2v^l \epsilon_{lki} E^k_j $。
• 当以有效力 $ m\dot{u}_1^i = F_1^i $ 和 $ \mathcal{M}\dot{u}_2^i = F_2^i $ 表达时，运动方程与附加条件无关，但力本身依赖于 $ \sigma $，表明物理解释取决于条件的选择。