[论文解读] The parabolic trigonometric functions and the Chebyshev radicals

G. Dattoli, M. Migliorati+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 8, 2011

Mathematical functions and polynomials参考文献 4被引用 3

一句话总结

本文引入抛物三角函数作为圆函数与双曲函数之间的桥梁，揭示其与切比雪夫根式及三次与五次方程解的关联。推导出可求解五次方程的广义三角形式，并将其与模椭圆函数联系起来，拓展了经典代数与特殊函数理论。

ABSTRACT

The parabolic trigonometric functions have recently been introduced as an intermediate step between circular and hyperbolic functions. They have been shown to be expressible in terms of irrational functions, linked to the solution of third degree algebraic equations. We show the link of the parabolic trigonometric functions with the Chebyshev radicals and also prove that further generalized forms of trigonometric functions, providing the natural solutions of the quintic algebraic equation, can be defined. We also discuss the link of this family of functions with the modular elliptic functions. 1

研究动机与目标

• 建立一个将抛物三角函数与三次与五次代数方程联系起来的数学框架。
• 证明抛物三角函数源于含无理根式的三次方程的解。
• 将三角函数推广以求解一般五次方程，扩展经典三角函数与双曲函数的类比关系。
• 探索这些广义函数与模椭圆函数之间的联系，暗示更深层次的代数-几何结构。

提出的方法

• 通过三次方程的代数解，将抛物三角函数定义为圆函数与双曲函数之间的中间形式。
• 将这些函数表示为三次多项式方程解所导出的无理根式。
• 将该框架扩展，以定义可自然求解一般五次方程的新三角函数类。
• 通过变换恒等式建立广义三角函数与模椭圆函数之间的关系。
• 使用符号运算与代数几何推导函数恒等式与关联关系。
• 分析这些新函数的功能行为与周期性，及其与已知特殊函数的关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何系统地定义抛物三角函数，使其成为圆函数与双曲函数之间的桥梁？
• RQ2 抛物三角函数与三次方程根之间的确切代数关系是什么？
• RQ3 能否构造出可求解一般五次方程的广义三角函数？
• RQ4 这些广义函数如何与模椭圆函数相关联？
• RQ5 在特殊函数理论背景下，这些新函数的功能与代数性质是什么？

主要发现

• 抛物三角函数可表示为三次方程解所导出的无理根式。
• 这些函数在功能行为与代数结构上，自然地成为圆函数与双曲函数之间的中间类。
• 可定义广义三角函数，从而为一般五次方程提供精确解。
• 本文建立了这些广义三角函数与模椭圆函数之间非平凡的联系。
• 该函数框架通过特殊函数构造，将经典三角恒等式推广至高次代数方程。
• 结果表明，特殊函数与多项式方程可解性之间存在更深层次的代数-几何关联。