[论文解读] The parallel sum for adjointable operators on Hilbert $C^*$-modules

Wei Luo, Chuanning Song+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 11, 2018

Holomorphic and Operator Theory参考文献 18被引用 6

一句话总结

本文引入并研究了希尔伯特 $C^*$-模上邻接算子的并联和，推广了经典的矩阵和希尔伯特空间定义。它建立了类似于矩阵的并联可和条件，并证明了在 $C^*$-模设定下，希尔伯特空间中通过算子分解实现的并联和的替代解释——该解释在希尔伯特空间中成立——在此设定下不成立，如反例所示：方程 $A^{1/2} = (A+B)^{1/2}X$ 在 $\mathcal{L}(H)$ 中无解。

ABSTRACT

The parallel sum for adjoinable operators on Hilbert $C^*$-modules is introduced and studied. Some results known for matrices and bounded linear operators on Hilbert spaces are generalized to the case of adjointable operators on Hilbert $C^*$-modules. It is shown that there exist a Hilbert $C^*$-module $H$ and two positive operators $A, B\in\mathcal{L}(H)$ such that the operator equation $A^{1/2}=(A+B)^{1/2}X, X\in \cal{L}(H)$ has no solution, where $\mathcal{L}(H)$ denotes the set of all adjointable operators on $H$.

研究动机与目标

• 将并联和的概念从矩阵和希尔伯特空间上有界线性算子推广到希尔伯特 $C^*$-模上的邻接算子。
• 识别出与矩阵理论中类似（如范围包含条件）的正邻接算子并联可和条件。
• 研究希尔伯特空间中通过分解 $A^{1/2} = (A+B)^{1/2}X$ 实现的并联和解释，在 $C^*$-模设定下是否仍然有效。
• 证明基于道格拉斯定理的分解方法——该方法支撑希尔伯特空间中的定义——无法推广到希尔伯特 $C^*$-模。

提出的方法

• 将希尔伯特 $C^*$-模 $H$ 上两个正邻接算子 $A$ 和 $B$ 的并联和定义为 $A:B = A(A+B)^\dagger B$，前提是 $A+B$ 是摩尔-彭罗斯可逆的。
• 建立并联可和条件，要求 $\mathcal{R}(A) \subseteq \mathcal{R}(A+B)$ 且 $\mathcal{R}(A^*) \subseteq \mathcal{R}(A^*+B^*)$，推广了矩阵条件。
• 利用左正则表示将 $\mathcal{L}(\mathfrak{A})$ 与 $C^*$-代数 $\mathfrak{A} = \mathbb{C}(E) \dotplus \mathbb{C}I$ 识别起来，从而能够显式构造反例。
• 构造一个特定的希尔伯特 $C^*$-模 $H = \mathfrak{A}$ 和正算子 $A = L_{A_1}, B = L_{B_1}$，其中 $A_1, B_1$ 是可分希尔伯特空间 $E$ 上的紧算子，以检验 $A^{1/2} = (A+B)^{1/2}X$ 的可解性。
• 通过证明所需解将导致在卡金代数中出现有限秩投影，从而导出矛盾，证明方程 $A^{1/2} = (A+B)^{1/2}X$ 在 $\mathcal{L}(H)$ 中无解。
• 利用紧算子的性质和 $\mathfrak{A}$ 的结构，证明解 $C_1 = D_1 + \lambda I$ 必须满足 $\lambda = 0$ 或 $\lambda = 1$，而这两种情况均因无限维范围而产生矛盾。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将正矩阵和希尔伯特空间上有界算子的并联和经典定义推广到希尔伯特 $C^*$-模上的邻接算子？
• RQ2 在 $C^*$-模设定下，范围包含条件 $\mathcal{R}(A) \subseteq \mathcal{R}(A+B)$ 和 $\mathcal{R}(A^*) \subseteq \mathcal{R}(A^*+B^*)$ 是否仍足以定义并联和？
• RQ3 在希尔伯特 $C^*$-模上，正邻接算子的并联和是否仍可通过分解 $A^{1/2} = (A+B)^{1/2}X$ 解释，如同在希尔伯特空间中一样？
• RQ4 鉴于该定理在此设定下不成立，基于道格拉斯定理的 $A^{1/2} = (A+B)^{1/2}X$ 求解方法是否可推广到 $C^*$-模上下文？

主要发现

• 当 $A+B$ 是摩尔-彭罗斯可逆时，正邻接算子 $A, B$ 在希尔伯特 $C^*$-模 $H$ 上的并联和 $A:B = A(A+B)^\dagger B$ 是良定义的。
• 并联可和条件 $\mathcal{R}(A) \subseteq \mathcal{R}(A+B)$ 和 $\mathcal{R}(A^*) \subseteq \mathcal{R}(A^*+B^*)$ 已推广到 $C^*$-模设定，并被证明是并联和存在性的充要条件。
• 构造了一个反例，其中 $A^{1/2} = (A+B)^{1/2}X$ 在 $\mathcal{L}(H)$ 中无解，证明了希尔伯特空间中基于分解的并联和解释无法推广到希尔伯特 $C^*$-模。
• 分解失败的原因在于，所需的解 $X$ 会导致卡金代数中出现无限秩投影，与扰动项的紧性矛盾。
• 该证明依赖于 $C^*$-代数 $\mathfrak{A^*} = \mathbb{C}(E) \dotplus \mathbb{C}I$ 的结构，其中 $E$ 是可分希尔伯特空间，且不可能将无限秩投影表示为标量算子的紧扰动。
• 结果表明，范围的非闭性以及道格拉斯定理在 $C^*$-模中的失效，从根本上改变了并联和与希尔伯特空间情形相比的行为。