[论文解读] The Parameterized Complexity of k-Biclique

Bingkai Lin|arXiv (Cornell University)|Jun 14, 2014

Advanced Graph Theory Research参考文献 34被引用 8

一句话总结

该论文通过从 k-Clique 到 k-Biclique 的 fpt-归约，证明了 k-Biclique 问题的 W[1]-难解性，表明在假设 W[1] ≠ FPT 的前提下，不存在 f(k)·|G|^{O(1)}-时间算法。此外，在随机化的指数时间假设下，该论文进一步证明了 f(k)·|G|^{o(√k)}-时间下界，使用具有 (n,k,ℓ,h)-阈值性质的图的随机构造方法，以在公共邻域大小之间制造差距。

ABSTRACT

Given a graph $G$ and a parameter $k$, the $k$-biclique problem asks whether $G$ contains a complete bipartite subgraph $K_{k,k}$. This is the most easily stated problem on graphs whose parameterized complexity is still unknown. We provide an fpt-reduction from $k$-clique to $k$-biclique, thus solving this longstanding open problem. Our reduction use a class of bipartite graphs with a threshold property of independent interest. More specifically, for positive integers $n$, $s$ and $t$, we consider a bipartite graph $G=(A\;\dot\cup\;B, E)$ such that $A$ can be partitioned into $A=V_1\;\dot\cup \;V_2\;\dot\cup\cdots\dot\cup\; V_n$ and for every $s$ distinct indices $i_1\cdots i_s$, there exist $v_{i_1}\in V_{i_1}\cdots v_{i_s}\in V_{i_s}$ such that $v_{i_1}\cdots v_{i_s}$ have at least $t+1$ common neighbors in $B$; on the other hand, every $s+1$ distinct vertices in $A$ have at most $t$ common neighbors in $B$. Using the Paley-type graphs and Weil's character sum theorem, we show that for $t=(s+1)!$ and $n$ large enough, such threshold bipartite graphs can be computed in $n^{O(1)}$. One corollary of our reduction is that there is no $f(k)\cdot n^{o(k)}$ time algorithm to decide whether a graph contains a subgraph isomorphic to $K_{k!,k!}$ unless the ETH(Exponential Time Hypothesis) fails. We also provide a probabilistic construction with better parameters $t=Θ(s^2)$, which indicates that $k$-biclique has no $f(k)\cdot n^{o(\sqrt{k})}$-time algorithm unless 3-SAT with $m$ clauses can be solved in $2^{o(m)}$-time with high probability. Our result also implies the dichotomy classification of the parameterized complexity of cardinality constrain satisfaction problem and the inapproximability of maximum $k$-intersection problem.

研究动机与目标

• 解决 k-Biclique 是否存在 f(k)·|G|^{O(1)}-时间算法这一长期悬而未决的开放问题。
• 通过保持差距的归约，建立 Maximum-k-Subset-Intersection 的参数化不可近似性结果。
• 构造一类具有 (n,k,ℓ,h)-阈值性质的图族，以实现困难性的增强。
• 在随机化的指数时间假设下，为 k-Biclique 提供下界，从而细化现有的复杂度界限。
• 探索具有内在差距的局部归约在证明参数化不可近似性方面的潜力。

提出的方法

• 基于 Paley 类图的随机方法，从给定的 n 个顶点图 G 构造一个二分图 H。
• 采用 (n,k,ℓ,h)-阈值性质：G 中任意 k 个顶点在 H 中至少有 h 个公共邻居，但任意 k+1 个顶点在 H 中至多有 ℓ 个公共邻居。
• 利用切比雪夫不等式和并集界，证明当 n 足够大时，随机图 G(n,p) 以高概率满足该阈值性质。
• 应用从 k-Clique 到 k-Biclique 的归约：若 G 中存在 k-团，则其在 H 中有大的公共邻域；若不存在 k-团，则仅存在小的公共邻域。
• 推导出交集大小的差距：在构造的集合族 F 中，s = k(k−1)/2 个集合的交集大小为 n^{Θ(1/k)} 与 (k+1)! 之间。
• 利用随机化的指数时间假设，排除了 k-Biclique 的 f(k)·|G|^{o(√k)}-时间算法。

实验结果

研究问题

• RQ1 在标准参数化 k 下，k-Biclique 问题是否为 W[1]-难解？
• RQ2 能否构造出公共邻域大小的差距，以实现参数化不可近似性结果？
• RQ3 在随机化的指数时间假设下，k-Biclique 是否存在 f(k)·|G|^{o(√k)}-时间算法？
• RQ4 能否将归约显式化而非依赖概率，以在标准 ETH 下强化下界？
• RQ5 基于差距的归约技术能否推广到其他参数化优化问题？

主要发现

• k-Biclique 问题为 W[1]-难解，表明在假设 W[1] ≠ FPT 的前提下，不存在 f(k)·|G|^{O(1)}-时间算法。
• 在随机化的指数时间假设下，k-Biclique 的 f(k)·|G|^{o(√k)}-时间下界成立。
• 归约构造了一个集合族 F，其中 s = k(k−1)/2 个集合，若 G 包含 k-团，则任意 s 个集合的交集大小至少为 n^{Θ(1/k)}；否则至多为 (k+1)!。
• 对于足够大的 n，(n,k,ℓ,h)-阈值图的随机构造成功概率大于 9/10。
• 该归约是局部的，每个输出位仅依赖于常数个输入位，与全局的 PCP 基归约形成对比。
• 该结果排除了在相同假设下，对 Maximum-k-Subset-Intersection 进行 n^{o(1/√k)}-近似比的 f(k)·n^{o(√k)}-时间算法。