[论文解读] The Parameters of Minimal Linear Codes

Wei Lu, Xia Wu+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 18, 2019

Coding theory and cryptography参考文献 16被引用 5

一句话总结

本文提出了一种新的、充分必要条件，用于判断有限域上线性码的极小性，从而简化了极小线性码的构造与验证。它建立了阈值 $ n(k;q) $ 的存在性，使得当且仅当 $ n \geq n(k;q) $ 时，$[n,k]_q$ 极小码存在，并提出了四类适用于任意素数幂 $ q $ 的广义极小码，扩展了先前的二元结果，采用更简单、更高效的方法。

ABSTRACT

Let $k\leq n$ be two positive integers and $q$ a prime power. The basic question in minimal linear codes is to determine if there exists an $[n,k]_q$ minimal linear code. The first objective of this paper is to present a new sufficient and necessary condition for linear codes to be minimal. Using this condition, it is easy to construct minimal linear codes or to prove some linear codes are minimal. The second objective of this paper is to use the new sufficient and necessary condition to partially give an answer to the basic question in minimal linear codes. The third objective of this paper is to present four classes of minimal linear codes, which generalize the results about the binary case given in [X. Li and Q. Yue, Des. Codes Cryptogr., 2019]. One can find that our method is much easier and more effective.

研究动机与目标

• 开发一种新的充分必要条件，用于判断线性码是否极小，且不依赖于重量分布。
• 通过建立阈值 $ n(k;q) $，解决 $[n,k]_q$ 极小线性码存在的基本问题。
• 将文献中已有的极小线性码构造——特别是二元情况——推广到任意素数幂域。
• 与现有方法相比，提供一种更简单、更高效的方法来构造极小线性码。

提出的方法

• 提出一种基于支撑包含的极小性新准则：当且仅当不存在其他码字 $ \mathbf{b} \neq a\mathbf{c} $ 满足 $ \mathrm{Suppt}(\mathbf{b}) \subseteq \mathrm{Suppt}(\mathbf{c}) $ 时，码字 $ \mathbf{c} $ 是极小的。
• 利用该准则推导出阈值 $ n(k;q) $，使得当且仅当 $ n \geq n(k;q) $ 时，$[n,k]_q$ 极小码存在。
• 建立界限：$ q(k-1) < n(k;q) \leq (q-1)\frac{k(k-1)}{2} + k $，并精确求得 $ n(2;q) = q+1 $。
• 通过在 $ \mathbb{F}_q^k $ 中使用结构化的定义集，构造四类新的极小码 $ \mathcal{C}(D_1), \mathcal{C}(D_2), \mathcal{C}(D_3), \mathcal{C}(D_4) $。
• 通过证明已知的极小码 $ \mathcal{C}(D_0) $（其中 $ D_0 = \{\mathbf{e}_i\} \cup \{\mathbf{e}_i + a\mathbf{e}_j \} $）包含于每个 $ D_i $ 中，利用定义集的包含关系来证明极小性。
• 将文献 [14] 中的二元构造推广到任意 $ q $，通过使用对称和嵌套子空间，确保支撑包含关系的封闭性。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在一种新的、充分必要条件，用于判断线性码是否极小，且不依赖于重量分布？
• RQ2 对于哪些 $ n $ 值，$[n,k]_q$ 极小线性码存在？
• RQ3 阈值 $ n(k;q) $ 是否可以被界定，其在小 $ k $ 值下的精确值是什么？
• RQ4 能否将先前的二元极小码构造推广到任意素数幂域？
• RQ5 是否存在一种比现有方法更简单、更高效的方法来构造极小线性码？

主要发现

• 建立了一种新的、充分必要条件用于极小性，仅依赖于支撑包含，避免了对汉明权重或重量分布的依赖。
• 存在一个阈值 $ n(k;q) $，使得当且仅当 $ n \geq n(k;q) $ 时，$[n,k]_q$ 极小码存在，部分解决了存在性问题。
• 该阈值满足 $ q(k-1) < n(k;q) \leq (q-1)\frac{k(k-1)}{2} + k $，且精确求得 $ n(2;q) = q+1 $。
• 为任意素数幂 $ q $ 构造了四类新的极小线性码，将文献 [14] 中的二元构造推广到了非二元域。
• 所采用的极小性证明方法比以往方法更简单、更高效，因为它避免了复杂的重量分析，仅依赖于集合包含关系。
• 这些构造对所有 $ k \geq 2 $ 和任意素数幂 $ q $ 均有效，且给出了基于子空间和陪集的显式定义集 $ D_1, D_2, D_3, D_4 $。