[论文解读] The parametric Frobenius problem and parametric exclusion

Bobby Shen|arXiv (Cornell University)|Oct 5, 2015

Commutative Algebra and Its Applications参考文献 5被引用 3

一句话总结

本文证明了参数型Frobenius问题——将经典Frobenius数推广至多项式序列——所产生的函数在参数t下为最终拟多项式（EQP）。通过引入参数型排除问题的新框架并结合参数型整数线性规划，作者证明了：具有少于m个表示方式的第ℓ个最大整数，以及此类整数的数量，均为t的最终拟多项式函数，从而解决了Roune与Woods针对固定m和ℓ的猜想。

ABSTRACT

The Frobenius number of relatively prime positive integers $a_1, \ldots, a_n$ is the largest integer that is not a nononegative integer combination of the $a_i.$ Given positive integers $a_1, \ldots, a_n$ with $n \ge 2,$ the set of multiples of $\gcd(a_1, \ldots, a_n)$ which have less than $m$ distinct representations as a nonnegative integer combination of the $a_i$ is bounded above, so we define $f_{m, \ell}(a_1, \ldots, a_n)$ to be the $\ell^{ ext{th}}$ largest multiple of $\gcd(a_1, \ldots, a_n)$ with less than $m$ distinct representations (which generalizes the Frobenius number) and $g_m(a_1, \ldots, a_n)$ to be the number of positive multiples of $\gcd(a_1, \ldots, a_n)$ with less than $m$ distinct representations. In the parametric Frobenius problem, the arguments are polynomials. Let $P_1, \ldots, P_n$ be integer valued polynomials of one variable which are eventually positive. We prove that $f_{m, \ell}(P_1(t), \ldots, P_n(t))$ and $g_m(P_1(t), \ldots, P_n(t)),$ as functions of $t,$ are eventually quasi-polynomial. A function $h$ is eventually quasi-polynomial if there exist $d$ and polynomials $R_0, \ldots, R_{d-1}$ such that for such that for sufficiently large integers $t,$ $h(t)=R_{t \pmod{d}}(t).$ We do so by formulating a type of parametric problem that generalizes the parametric Frobenius Problem, which we call a parametric exclusion problem. We prove that the $\ell^{ ext{th}}$ largest value of some polynomial objective function, with multiplicity, for a parametric exclusion problem and the size of its feasible set are eventually quasi-polynomial functions of $t.$

研究动机与目标

• 将经典Frobenius问题推广至参数t的多项式序列。
• 解决Roune与Woods关于参数型Frobenius数的最终拟多项式性质的猜想。
• 构建一个新框架——参数型排除问题——以统一并推广用于表示计数问题的参数型整数规划。
• 证明：具有少于m个表示方式的第ℓ个最大整数，以及此类整数的数量，均为t的最终拟多项式函数。

提出的方法

• 将参数型排除问题引入为参数型Frobenius问题的推广。
• 定义 f_{m,ℓ}(P₁(t),…,Pₙ(t)) 为：以 gcd(P₁(t),…,Pₙ(t)) 为基的、具有少于m个非负整数表示方式的第ℓ个最大倍数。
• 定义 g_m(P₁(t),…,Pₙ(t)) 为：以 gcd(P₁(t),…,Pₙ(t)) 为基的、具有少于m个表示方式的正倍数的个数。
• 通过将问题分解为参数型整数线性规划，证明 f_{m,ℓ}(P₁(t),…,Pₙ(t)) 与 g_m(P₁(t),…,Pₙ(t)) 均为t的最终拟多项式函数。
• 利用参数型整数规划解集的结构，证明这些函数依赖于t模某个固定周期d，其分量由多项式 R₀,…,R_{d−1} 给出。
• 利用表示数 h(k) 随k增大而无界增长的事实，确保所分析集合的有限性。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于固定的m和ℓ，具有少于m个非负整数表示方式的∑b_i P_i(t) 的第ℓ个最大整数是否为t的最终拟多项式函数？
• RQ2 具有少于m个此类表示方式的正整数的个数是否也构成t的最终拟多项式函数？
• RQ3 参数型Frobenius问题能否系统地转化为具有结构化解集的参数型整数线性规划问题？
• RQ4 所得最终拟多项式函数的分量与生成多项式的底层代数结构之间存在何种关系？
• RQ5 是否存在关于最终拟多项式行为周期的有效界，或可计算分量的算法方法？

主要发现

• 函数 f_{m,ℓ}(P₁(t),…,Pₙ(t)) —— 即以 P₁(t),…,Pₙ(t) 的非负整数组合表示方式少于m个的第ℓ个最大整数——在t上为最终拟多项式。
• 函数 g_m(P₁(t),…,Pₙ(t)) —— 计数以 gcd(P₁(t),…,Pₙ(t)) 为基、表示方式少于m个的正倍数个数——在t上同样为最终拟多项式。
• 该结果证实了Roune与Woods的猜想：当 P_i(t) 为正首项系数的整值多项式时，F(P₁(t),…,Pₙ(t)) 为最终拟多项式。
• 证明依赖于将参数型Frobenius问题转化为参数型排除问题，再通过参数型整数线性规划进行分析。
• 最终拟多项式的分量由参数系统解集的结构决定，表现出模固定d的周期性。
• 该框架表明，即使m和ℓ被替换为t的多项式，所得函数也不一定是最终拟多项式，反例已给出。