[论文解读] The partition dimension of corona product graphs

Juan A. Rodríguez‐Velázquez, Ismael G. Yero+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 25, 2010

Graph Labeling and Dimension Problems参考文献 3被引用 15

一句话总结

本文研究了冠积图 $G \odot H$ 的划分维数，根据 $G$、$H$ 及其度量维数的参数，建立了紧致的上下界和精确值。证明了 $pd(G \odot H) \leq \frac{1}{n_1} \text{dim}(G \odot H) + pd(G) + 1$，并给出了精确值，例如当 $n_1 > 2n_2 + 1 \geq 5$ 时，$pd(P_{n_1} \odot K_{n_2}) = n_2 + 2$；当 $n_1 \geq n_2 \geq 2$ 时，$pd(P_{n_1} \odot N_{n_2}) = n_2 + 1$，表明所推导不等式的紧致性。

ABSTRACT

Given a set of vertices $S=\{v_1,v_2,...,v_k\}$ of a connected graph $G$, the metric representation of a vertex $v$ of $G$ with respect to $S$ is the vector $r(v|S)=(d(v,v_1),d(v,v_2),...,d(v,v_k))$, where $d(v,v_i)$, $i\in \{1,...,k\}$ denotes the distance between $v$ and $v_i$. $S$ is a resolving set of $G$ if for every pair of vertices $u,v$ of $G$, $r(u|S) e r(v|S)$. The metric dimension $dim(G)$ of $G$ is the minimum cardinality of any resolving set of $G$. Given an ordered partition $Π=\{P_1,P_2, ...,P_t\}$ of vertices of a connected graph $G$, the partition representation of a vertex $v$ of $G$, with respect to the partition $Π$ is the vector $r(v|Π)=(d(v,P_1),d(v,P_2),...,d(v,P_t))$, where $d(v,P_i)$, $1\leq i\leq t$, represents the distance between the vertex $v$ and the set $P_i$, that is $d(v,P_i)=\min_{u\in P_i}\{d(v,u)\}$. $Π$ is a resolving partition for $G$ if for every pair of vertices $u,v$ of $G$, $r(u|Π) e r(v|Π)$. The partition dimension $pd(G)$ of $G$ is the minimum number of sets in any resolving partition for $G$. Let $G$ and $H$ be two graphs of order $n_1$ and $n_2$ respectively. The corona product $G\odot H$ is defined as the graph obtained from $G$ and $H$ by taking one copy of $G$ and $n_1$ copies of $H$ and then joining by an edge, all the vertices from the $i^{th}$-copy of $H$ with the $i^{th}$-vertex of $G$. Here we study the relationship between $pd(G\odot H)$ and several parameters of the graphs $G\odot H$, $G$ and $H$, including $dim(G\odot H)$, $pd(G)$ and $pd(H)$.

研究动机与目标

• 确定冠积图 $G \odot H$ 的划分维数 $pd(G \odot H)$ 与 $G$、$H$ 及其度量维数的参数之间的关系。
• 推导 $pd(G \odot H)$ 的上下界，特别是关于 $\text{dim}(G \odot H)$、$pd(G)$ 和 $pd(H)$ 的界，并确立这些界是紧致的。
• 分析特殊情形，如 $G = P_{n_1}$ 且 $H = K_{n_2}$ 或 $H = N_{n_2}$，为划分维数提供精确值。

提出的方法

• 本文使用顶点关于分辨集和有序划分的度量表示与划分表示，将划分维数 $pd(G)$ 定义为分辨划分中集合的最小数量。
• 应用引理1分析 $G \odot H$ 中分辨集的结构，表明任意复制 $H_i$ 必须至少包含一个来自任何分辨集的顶点。
• 作者为 $P_{n_1} \odot K_{n_2}$ 和 $P_{n_1} \odot N_{n_2}$ 构造了显式的分辨划分，以证明划分维数的精确值。
• 通过反证法和对不同划分表示的计数推导下界，特别是在 $n_1 > 2c(H) + 1$ 或 $n_1 > \beta(H)$ 的情况下。
• 证明技术依赖于 $G$、$H_i$ 和整个 $G \odot H$ 图中顶点之间距离的比较，尤其是对到划分集中距离的区分。
• 分析包括基于顶点类型（例如 $H_i$ 中的顶点、$G$ 中的顶点或孤立顶点）及其在划分向量中表示的案例区分。

实验结果

研究问题

• RQ1 划分维数 $pd(G \odot H)$ 与度量维数 $\text{dim}(G \odot H)$、$pd(G)$ 和 $pd(H)$ 之间存在何种关系？
• RQ2 在何种条件下 $pd(G \odot H)$ 达到如 $n_2 + 2$ 或 $n_2 + 1$ 这样的精确值？
• RQ3 对 $pd(G \odot H)$ 的上下界有多紧致？在何时达到这些界？

主要发现

• 当 $n_1 > 2n_2 + 1 \geq 5$ 时，$P_{n_1} \odot K_{n_2}$ 的划分维数恰好为 $n_2 + 2$，表明所推导的上界是紧致的。
• 当 $n_1 \geq n_2 \geq 2$ 时，$P_{n_1} \odot N_{n_2}$ 的划分维数恰好为 $n_2 + 1$，且该值通过构造的分辨划分实现。
• 建立了上界 $pd(G \odot H) \leq \frac{1}{n_1} \text{dim}(G \odot H) + pd(G) + 1$，并证明其在特定图族中是紧致的。
• 对于 $H = K_{n_2}$，若 $n_1 > 2n_2 + 1$，则 $pd(G \odot H) \geq n_2 + 2$，且当 $G = P_{n_1}$ 时该界是紧致的。
• 若 $H$ 有 $\beta(H) \geq 2$ 个孤立顶点且 $n_1 > \beta(H)$，则 $pd(G \odot H) \geq \beta(H) + 1$，但在此条件下等式无法成立。
• 所推导的界是紧致的，这通过 $P_{n_1} \odot K_{n_2}$ 和 $P_{n_1} \odot N_{n_2}$ 等特殊情形的精确值得到验证，从而确认了理论极限的有效性。