[论文解读] The path group method for constructing Lie group extensions

Cornelia Vizman|arXiv (Cornell University)|Mar 12, 2007

Advanced Topics in Algebra被引用 1

一句话总结

本文提出了一种新颖的路径群方法，用于显式构造无限维李群的阿贝尔扩张，推广了Mickelsson的环群方法以及Losev-Moore-Nekrasov-Shatashvili的电流群框架。该方法成功应用于体积保持微分同胚群，通过路径群提升系统地构造了此类扩张。

ABSTRACT

Abstract. We present an explicit realization of abelian extensions of infinite dimensional Lie groups using abelian extensions of path groups, by generalizing Mickelsson’s approach to loop groups and the approach of Losev-Moore-Nekrasov-Shatashvili to current groups. We apply it to the group of volume preserving diffeomorphisms. 1.

研究动机与目标

• 开发一个统一的框架，用于构造无限维李群的阿贝尔扩张。
• 推广Mickelsson针对环群的方法以及Losev-Moore-Nekrasov-Shatashvili针对电流群的方法。
• 将这些技术扩展至体积保持微分同胚群，这是数学物理中的一个关键例子。
• 通过路径群构造，提供阿贝尔扩张的显式几何实现。

提出的方法

• 该方法通过将原始李群提升至其关联的路径群来构造阿贝尔扩张。
• 利用路径群的中心扩张来诱导原始群的扩张，推广了环群与电流群的已知结果。
• 该构造依赖于一种类似横截的程序，将路径群上的上循环映射到原始群上的上循环。
• 采用微分几何与上同调技术，确保扩张的良定义性与阿贝尔性。
• 通过将该方法应用于体积保持微分同胚群来验证其框架，证明其与已知物理模型的一致性。
• 该方法通过在单一路径群形式下统一处理环群与电流群扩张，推广了先前结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在已知的环群与电流群案例之外，系统地构造无限维李群的阿贝尔扩张？
• RQ2 路径群形式能否统一并推广无限维群扩张的现有方法？
• RQ3 路径群在实现体积保持微分同胚群的中心扩张中起什么作用？
• RQ4 路径群的上同调结构与原始李群的上同调结构有何关联？
• RQ5 该方法在多大程度上可扩展至体积保持微分同胚群以外的其他无限维李群？

主要发现

• 路径群方法成功地将Mickelsson与Losev-Moore-Nekrasov-Shatashvili的方法统一为阿贝尔扩张的统一框架。
• 该构造通过路径群提升，显式地给出了体积保持微分同胚群的中心扩张。
• 该方法建立了从路径群上循环到原始群上循环的一致横截映射。
• 所得扩张为阿贝尔扩张，且具有几何可实现性，保持了原始李群的结构。
• 该框架为在直接上同调计算不可行的情况下，系统构造扩张提供了有效途径。
• 该方法证实了将环群与电流群的已知结果扩展至更广泛的无限维李群类别的可行性。