[论文解读] The peak statistics on simsun permutations

Shi-Mei Ma, Yeong‐Nan Yeh|arXiv (Cornell University)|Jan 25, 2016

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 19被引用 3

一句话总结

本文研究了simsun排列上的峰值统计量——具体为左峰值、内部峰值和上升-下降运行——建立了与生成函数、递推关系以及实根性的联系。文章引入了第二类simsun排列，并推导出一个双变量生成函数，将其与André排列及环状上升-下降结构联系起来，通过指数生成函数和微分方程揭示了深刻的组合对称性。

ABSTRACT

In this paper, we study the relationship among left peaks, interior peaks and up-down runs of simsun permutations. Properties of the generating polynomials, including the recurrence relation, generating function and real-rootedness are studied. Moreover, we introduce and study simsun permutations of the second kind.

研究动机与目标

• 分析simsun排列中左峰值、内部峰值和上升-下降运行的分布。
• 为simsun排列上的峰值统计量建立递推关系和生成函数。
• 引入并研究第二类simsun排列，扩展组合框架。
• 将simsun排列的生成函数与André排列及环状上升-下降结构的生成函数联系起来。
• 研究相关多项式实根性及结构性质。

提出的方法

• 采用构造性方法，通过插入技术将simsun排列与具有给定内部峰值数的排列关联起来。
• 推导出生成多项式 $ S_n(x) $ 的递推关系：$ S_{n+1}(x) = (1 + nx)S_n(x) + x(1 - 2x)S_n'(x) $，其中 $ S_0(x) = 1 $。
• 建立闭式生成函数：$ S(x,z) = \left( \frac{\sqrt{2x-1}\sec(\frac{z}{2}\sqrt{2x-1})}{\sqrt{2x-1} - \tan(\frac{z}{2}\sqrt{2x-1})} \right)^2 $。
• 通过环结构引入第二类simsun排列，并定义双变量生成函数 $ S(x,q;z) = S(x,z)^q $。
• 对生成函数应用微分方程，导出 $ (1 - xz)S_z = qS + x(1 - 2x)S_x $，该方程刻画了生成函数。
• 利用组合双射和指数生成函数，将simsun排列与环状上升-下降排列及André排列联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 simsun排列中的左峰值如何与其它排列类的下降数和峰值统计量相关？
• RQ2 simsun排列按左峰值计数的生成函数是什么？其结构性质如何？
• RQ3 simsun排列上的内部峰值统计量如何与一般排列上的统计量关联？
• RQ4 上升-下降运行在simsun排列计数中起什么作用？
• RQ5 第二类simsun排列的组合与代数性质是什么？

主要发现

• simsun排列上左峰值的生成多项式 $ S_n(x) $ 满足递推关系 $ S_{n+1}(x) = (1 + nx)S_n(x) + x(1 - 2x)S_n'(x) $，其中 $ S_0(x) = 1 $。
• 指数生成函数 $ S(x,z) $ 由 $ \left( \frac{\sqrt{2x-1}\sec(\frac{z}{2}\sqrt{2x-1})}{\sqrt{2x-1} - \tan(\frac{z}{2}\sqrt{2x-1})} \right)^2 $ 给出，与三角函数相关联。
• 第二类simsun排列的生成函数满足 $ S(x,q;z) = S(x,z)^q $，建立了与环状上升-下降排列的联系。
• 当 $ q > 0 $ 时，多项式 $ S_n(x,q) $ 的所有零点均为非正且单重，表明其具有实根性。
• 欧拉数 $ E_{n+1} $ 满足 $ E_{n+1} = \frac{1}{2^n} \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} S_k S_{n-k} $，其中 $ S_n $ 为第 $ n $ 个Springer数。
• 生成函数 $ S(1,q;z) = \frac{1}{(1 - \sin z)^q} $ 按循环数计数环状上升-下降排列，确认了其与André排列的深层联系。