[论文解读] The Penrose inequality on perturbations of the Schwarzschild exterior

Spyros Alexakis|arXiv (Cornell University)|Jun 21, 2015

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 18被引用 11

一句话总结

本文为接近史瓦西外部的真空时空建立了微扰形式的彭罗斯不等式，证明了在向过去指向的光锥超曲面 $̟_0$ 上的孤立外向抓捕球（MOTS）的面积，对ADM能量提供了下界。通过变形初始光锥超曲面以确保在过去无穷远的渐近球面的正则性与霍金质量的单调性，作者应用隐函数定理构造了一个共形因子，使度量在过去无穷远处实现统一化，从而证明该不等式在小扰动下成立。

ABSTRACT

We prove a version the Penrose inequality for black hole space-times which are perturbations of the Schwarzschild exterior in a slab around a null hypersurface $\underline{\mathcal{N}}_0$. $\underline{\mathcal{N}}_0$ terminates at past null infinity $\mathcal{I}^-$ and $\mathcal{S}_0:=\partial\underline{\mathcal{N}}_0$ is chosen to be a marginally outer trapped sphere. We show that the area of $\mathcal{S}_0$ yields a lower bound for the Bondi energy of sections of past null infinity, thus also for the total ADM energy. Our argument is perturbative, and rests on suitably deforming the initial null hypersurface $\underline{\mathcal{N}}_0$ to one for which the natural "luminosity" foliation originally introduced by Hawking yields a monotonically increasing Hawking mass, and for which the leaves of this foliation become asymptotically round. It is to ensure the latter (essential) property that we perform the deformation of the initial nullhypersurface $\underline{\mathcal{N}}_0$.

研究动机与目标

• 建立适用于小扰动的史瓦西外部时空的彭罗斯不等式版本。
• 证明在向过去指向的光锥超曲面 $̟_0$ 上的孤立外向抓捕球（MOTS）的面积，为时空的ADM能量提供了下界。
• 确保在过去无穷远处光锥超曲面的渐近球面性，这对控制高斯曲率并应用隐函数定理至关重要。
• 证明质量为1的史瓦西解是史瓦西外部小扰动正则空间中ADM质量的局部极小值。

提出的方法

• 将初始光锥超曲面 $̟_0$ 变形为新的光锥超曲面 $̟_\omega$，使得自然的光度叶层结构产生单调递增的霍金质量。
• 应用隐函数定理求解共形因子 $e^{2\Sigma(\omega)}$，使其在无穷远处统一化度量，确保渐近球面的高斯曲率为常数。
• 对光锥超曲面的变分沿里奇系数与雅可比场进行微扰分析，以控制无穷远处Weyl曲率与高斯曲率的一阶变分。
• 在变形后的光锥超曲面上构造恒定光度叶层，并利用加权Sobolev范数 $W^{4,p}$ 与 $W^{2,p}$ 分析其渐近行为。
• 利用线性化算子 $\mathcal{L}_\omega$ 是 $\mathbb{S}^2$ 上标准拉普拉斯算子 $\Delta_{\mathbb{S}^2}$ 的小扰动这一事实，确保在应用隐函数定理时的可逆性与横截性。
• 利用共形群 $SO(3,1)$ 参数化与背景度量 $\gamma^\infty$ 共形的常曲率度量，并证明解空间与该群横截相交。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以在不假设事件视界全局存在的前提下，证明小扰动的史瓦西外部时空的彭罗斯不等式？
• RQ2 在这些扰动时空中，向过去指向的光锥超曲面 $̟_0$ 上的MOTS面积是否为ADM能量提供下界？
• RQ3 是否可以通过变形光锥超曲面的渐近几何，使其光度叶层产生单调递增的霍金质量，并在过去无穷远处形成渐近球面？
• RQ4 是否可以应用隐函数定理，构造一个共形因子，使在小扰动的初始光锥超曲面下，度量在过去无穷远处实现统一化？
• RQ5 无穷远处高斯曲率的一阶变分如何与光锥超曲面的变分及其相关雅可比场相关联？

主要发现

• 初始光锥超曲面 $̟_0$ 上的MOTS $\mathcal{S}_0$ 的面积为时空的ADM能量提供了下界，且仅在史瓦西情形下取等。
• 在变形后的光锥超曲面 $̟_\omega$ 的光度叶层上，霍金质量单调递增，确保了在微扰情形下彭罗斯不等式的有效性。
• 通过将隐函数定理应用于共形因子 $\Sigma(\omega)$，对初始光锥超曲面进行适当的共形变形后，过去无穷远处的高斯曲率变为常数。
• 共形因子 $e^{2\Sigma(\omega)}$ 的解空间与4参数共形变换族 $U_{\lambda,q}$ 横截相交，确保了存在常曲率解。
• 对初始光锥超曲面的变形使得光度叶层的叶面在渐近下趋于球面，这对控制质量与曲率的渐近行为至关重要。
• 由于在 $W^{4,p}$ 与 $W^{2,p}$ 范数下扰动足够小，且算子 $\mathcal{L}_\omega$ 是 $\mathbb{S}^2$ 上拉普拉斯算子的小扰动，隐函数定理得以适用。