[论文解读] The performance of the quantum adiabatic algorithm on random instances of two optimization problems on regular hypergraphs

Edward Farhi, David Gosset+5 more|DSpace@MIT (Massachusetts Institute of Technology)|Aug 18, 2012

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 18

一句话总结

本文研究了量子绝热算法（QAA）在两类随机优化问题——三正则3-XORSAT与三正则Max-Cut——上的表现，问题定义在正则超图上。通过使用可适用于量子蒙特卡洛与腔方法的Stoquastic哈密顿量，研究发现QAA在两种问题上均无法高效求解：3-XORSAT的失败源于s=1/2处与一阶量子相变相关的指数级小能隙；Max-Cut的失败则源于在s≈0.36处的二阶临界点之后出现的指数级小能隙，可能源于微扰交叉效应。

ABSTRACT

In this paper we study the performance of the quantum adiabatic algorithm on random instances of two combinatorial optimization problems, 3-regular 3-XORSAT and 3-regular Max-Cut. The cost functions associated with these two clause-based optimization problems are similar as they are both defined on 3-regular hypergraphs. For 3-regular 3-XORSAT the clauses contain three variables and for 3-regular Max-Cut the clauses contain two variables. The quantum adiabatic algorithms we study for these two problems use interpolating Hamiltonians which are stoquastic and therefore amenable to sign-problem free quantum Monte Carlo and quantum cavity methods. Using these techniques we find that the quantum adiabatic algorithm fails to solve either of these problems efficiently, although for different reasons.

研究动机与目标

• 评估量子绝热算法（QAA）在两类NP难优化问题——三正则3-XORSAT与三正则Max-Cut——的随机实例上的效率。
• 分析插值哈密顿量中最小谱能隙的标度行为，该行为决定了QAA的运行时间复杂度。
• 在存在回避能级交叉与相变的情况下，判断QAA是否能以多项式时间求解这些问题。
• 比较在无符号问题且更易处理的Stoquastic哈密顿量上，量子蒙特卡洛与量子腔方法的数值结果。

提出的方法

• 研究采用线性插值哈密顿量 H(s) = (1−s)HB + sHP，其中HB为横向场哈密顿量，HP为每个优化问题的问题哈密顿量。
• 问题哈密顿量定义在三正则超图上：3-XORSAT的约束涉及三个变量，Max-Cut的约束涉及两个变量。
• 插值哈密顿量为Stoquastic形式，使得可使用量子蒙特卡洛（QMC）与量子腔方法进行数值分析。
• 量子蒙特卡洛模拟针对具有简并双重基态与固定基态能量的实例进行；腔方法则分析典型随机实例。
• 通过有限尺寸标度与能隙分析，将Max-Cut的相变临界点确定为sc ≈ 0.36。
• 研究了微扰交叉效应作为Max-Cut情形中sc之后出现小能隙的可能成因。

实验结果

研究问题

• RQ1 量子绝热算法能否在多项式时间内求解三正则3-XORSAT的随机实例？若不能，其失败原因是什么？
• RQ2 三正则Max-Cut的插值哈密顿量中，量子相变的性质是什么？它如何影响最小能隙？
• RQ3 尽管存在二阶相变，为何QAA在三正则Max-Cut上仍会失败？所观察到的小能隙背后的机制是什么？
• RQ4 量子蒙特卡洛与腔方法能否可靠预测这些模型中Stoquastic哈密顿量的最小能隙标度？
• RQ5 Max-Cut中观察到的小能隙是否如近期理论模型所预测的那样，源于微扰交叉？

主要发现

• QAA在三正则3-XORSAT上失败，原因是在s=1/2处存在与一阶量子相变相关的指数级小最小能隙。
• 三正则Max-Cut的相变临界点精确为s_c = 0.36，通过对偶变换与有限尺寸标度方法确定。
• 对于Max-Cut，最小能隙在s_c附近呈多项式减小，但在s > s_c时表现出指数级小能隙，表明运行时间复杂度可能为指数级或拉伸指数级。
• 对于3-XORSAT，副本对称腔方法与QMC结果高度一致，支持RS近似在该模型热力学性质中的精确性。
• QMC结果表明，Max-Cut的最小能隙随系统尺寸呈指数级减小，尽管拉伸指数拟合也具有合理性。
• Max-Cut中s_c之后的小能隙极有可能源于微扰交叉，与近期关于绝热量子算法中回避交叉的理论工作预测一致。