[论文解读] The period-index problem in WC-groups II: abelian varieties

Pete L. Clark|ArXiv.org|Jun 8, 2004

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 24被引用 8

一句话总结

本文研究了在数域和 p-进域上，阿贝尔簇上的主齐性空间的周期-指标问题，证明了对于 g 维阿贝尔簇，素数阶 p 的扭子的指标最大可达 $ p^g $。该研究将 Cassels 和 Lichtenbaum 的经典结果推广至高维情形，并利用 O'Neil 的周期-指标障碍的阿贝尔簇类比，证明了在有界次数扩张上，Shafarevich-Tate 群中的 p-挠子群可任意增大。

ABSTRACT

We study the relationship between the period and the index of a principal homogeneous space over an abelian variety, obtaining results which generalize work of Cassels and Lichtenbaum on curves of genus one. In addition, we show that the p-torsion in the Shafarevich-Tate group of a fixed abelian variety over a number field k grows arbitrarily large when considered over field extensions l/k of bounded degree. Essential use is made of an abelian variety version of O'Neil's period-index obstruction.

研究动机与目标

• 将此前仅对椭圆曲线成立的周期-指标问题经典结果推广至高维阿贝尔簇。
• 建立在 $ p $-进域和数域上，存在素数周期 $ p $ 且指标至少为 $ p^g $ 的主齐性空间。
• 分析在有界次数扩张上，Shafarevich-Tate 群中 $ p $-挠子群的增长情况。
• 发展并应用 O'Neil 周期-指标障碍的阿贝尔簇版本，以研究扭子的分裂域。
• 在主极化阿贝尔簇的背景下，给出扭子指标关于周期和维数的显式上界。

提出的方法

• 将 O'Neil 的周期-指标障碍适配至阿贝尔簇，利用伽罗瓦上同调及 $ A[p] $ 作为伽罗瓦模的结构。
• 应用 Gerritzen 在 $ p $-进域上阿贝尔簇解析统一化的结果，推导分裂域的条件。
• 利用限制标数方法，将 $ p $-进域上的结果推广至数域及无害扩张。
• 利用 Weil 配对与伽罗瓦表示理论，在有限扩张上消去 $ A[p] $ 和 $ NS(A) $。
• 应用 $ GL_N(\mathbb{Z}) $ 的有限子群的界，控制使伽罗瓦作用在 Néron-Severi 群上平凡化所需的扩张次数。
• 结合上述技术，推导出 $ H^1(k,A)[n] $ 中扭子指标的统一上界，证明在特定条件下其整除 $ (g!)n^g $。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将关于椭圆曲线的周期-指标问题推广至数域和 $ p $-进域上的高维阿贝尔簇？
• RQ2 在 $ g $-维阿贝尔簇上，素数周期 $ p $ 的主齐性空间的最大可能指标是多少？
• RQ3 在有界次数的域扩张上，Shafarevich-Tate 群中的 $ p $-挠子群如何增长？
• RQ4 在 Brauer 群平凡的域上，高维阿贝尔簇中周期是否与指标相等？程度如何？
• RQ5 O'Neil 周期-指标障碍的阿贝尔簇类比能否用于控制扭子分裂域的次数？

主要发现

• 对任意 $ g \to \text{正整数} $ 及素数 $ p $，存在 $ g $-维阿贝尔簇 $ A/k $ 及周期为 $ p $ 的扭子 $ V \to A $，其指标至少为 $ p^g $，在足够大的 $ p $-进域或数域上成立。
• 在 $ p $-进域上，若 $ n $ 为奇数或 $ A[n] $ 是拉格朗日子伽罗瓦模，则 $ H^1(k,A)[n] $ 中扭子的指标被 $ (g!)n^g $ 控制。
• 在数域或 $ p $-进域的无害扩张上，相同界在类似条件下成立，且对域大小有显式界。
• 在固定数域上的阿贝尔簇，其 Shafarevich-Tate 群中的 $ p $-挠子群在通过有界次数扩张时可任意增大。
• 阿贝尔簇的 Néron-Severi 群可在次数至多为 $ \#GL_{4d^2}(\mathbb{F}_3) $ 的扩张上被消去，从而控制极化障碍。
• 当 $ p > g $ 时，$ p $-进域上界 $ i \mid (g!)n^g $ 几乎最优，且本文猜想该界在一般情况下成立。