[论文解读] The Perpendicular Bisector Construction in $n$-dimensional Euclidean and Non-euclidean Geometries

Emmanuel Tsukerman|arXiv (Cornell University)|Mar 29, 2012

Mathematics and Applications参考文献 1被引用 7

一句话总结

该论文将此前仅在平面四边形中研究的垂直平分线构造推广至(n−2)维欧氏、双曲与椭几何时的n顶点多面体。证明了每一原始多面体的第二代后继多面体与之透视，且所有奇数与偶数索引的多面体关于同一点位似，该点被定义为等角点。此点推广了平面中的等角点概念，并在高维中表现出类似于外心的性质。

ABSTRACT

The "Perpendicular Bisectors Construction" is a natural way to seek a replacement for the circumcenter of a noncyclic quadrilateral in the plane. In this paper, we generalize this iterative construction to a construction on polytopes with $n$ vertices in $(n-2)$-dimensional Euclidean, Hyperbolic and Elliptic geometries. We then show that a number of nice properties concerning this iterative construction continue to hold in these geometries. We also introduce an analogue of the isoptic point of a quadrilateral, which is the limit point of the Perpendicular Bisectors Construction, in $\mathbb{R}^{n}$ and prove some of its properties.

研究动机与目标

• 将垂直平分线构造从平面四边形推广至(n−2)维欧氏、双曲与椭几何时的n顶点多面体。
• 建立迭代构造在三种几何中均使每两代多面体保持透视关系的结论。
• 定义并分析ℝⁿ中等角点的类比，该点作为奇数与偶数代多面体的共同位似中心。
• 将已知的平面结果（如相似比与垂足性质）推广至高维及非欧几何环境。

提出的方法

• 通过取当前多面体中任意n−1个顶点构成的(n−1)单形的外心，迭代构造新多面体。
• 该方法利用射影几何，通过一个对偶关系与一个二次曲面，将欧氏、双曲与椭几何时几何嵌入实射影空间。
• 利用极点-极线关系与关于对偶关系的自共轭点性质，证明P⁽ⁱ⁾与P⁽ⁱ⁺²⁾之间的透视性。
• 使用等角共轭反向构造，以分析收敛性与极限行为。
• 通过三角形相似性与位似线的交点，确立所有奇数与偶数代多面体关于单一中心的位似性。
• 将等角点定义为迭代构造的极限，并证明其为奇数与偶数序列共同的位似中心。

实验结果

研究问题

• RQ1 在高维中，垂直平分线构造是否保持每两代多面体之间的几何关系（如透视性）？
• RQ2 ℝⁿ中的等角点是否可定义为迭代构造的极限，并证明其为奇数与偶数索引多面体的位似中心？
• RQ3 在高维与非欧几何中，P⁽ⁱ⁾与P⁽ⁱ⁺²⁾之间的相似比如何变化？是否存在平面相似比公式的推广？
• RQ4 在何种条件下，该构造能保持或反转高维中的循环或共超球面构型？

主要发现

• 对于任意维度d = n−2及几何类型（欧氏、双曲、椭圆），所有i均有P⁽ⁱ⁾与P⁽ⁱ⁺²⁾处于透视关系。
• 在欧氏几何中，所有奇数代多面体P⁽²ᵏ⁺¹⁾彼此位似，所有偶数代多面体P⁽²ᵏ⁾也彼此位似，且具有相同的位似中心。
• 奇数与偶数序列的位似中心重合，且被定义为等角点，该点推广了平面中的等角点至ℝⁿ。
• 体积比|P⁽ⁱ⁾| / |P⁽ⁱ⁺²ᵏ⁾|与i无关，仅依赖于k，表明迭代过程中具有稳定的缩放行为。
• 在ℝ³中，P⁽¹⁾可能非共超球面，而P⁽²⁾却为共超球面，此现象在ℝ²中不可能发生。
• 在ℝ²中，P⁽ⁱ⁾与P⁽ⁱ⁺²⁾之间的相似比为1/4(cot α + cot γ)(cot β + cot δ)，而本文提出开放问题：在ℝⁿ中是否存在类似的表达式。