[论文解读] The Persistent Homology of Random Geometric Complexes on Fractals.

Benjamin Schweinhart|arXiv (Cornell University)|Aug 7, 2018

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 23被引用 3

一句话总结

本文证明了在具有Ahlfors正则测度的度量空间中，其分形维数 $d$ 可通过 $n$ 个独立同分布点的最小生成树的 $\alpha$-权重，从随机样本的持久同调中恢复。证明表明，当 $n \to \infty$ 时，$n^{-(d-\alpha)/d} E^0_\alpha(x_1,\dots,x_n)$ 以高概率收敛于一个常数，将Steele（1988年）在非奇异空间中的结果推广至分形情形。

ABSTRACT

We prove that the fractal dimension of a metric space equipped with an Ahlfors regular measure can be recovered from the persistent homology of random samples. Our main result is that if $x_1,\ldots, x_n$ are i.i.d. samples from a $d$-Ahlfors regular measure on a metric space, and $E^0_\alpha\left(x_1,\ldots,x_n ight)$ denotes the $\alpha$-weight of the minimum spanning tree on $x_1,\ldots,x_n:$ \[E_\alpha^0\left(x_1,\ldots,x_n ight)=\sum_{e\in T\left(x_1,\ldots,x_n ight)} |e|^\alpha\,,\] then there exist constants $0<C_1\leq C_2$ so that \[C_1\leq n^{-\frac{d-\alpha}{d}} E^0_\alpha\left(x_1,\ldots,x_n ight)\leq C_2\,\] with high probability as $n ightarrow \infty.$ In particular, \[\log\big(E^0_\alpha(x_1,\ldots,x_n)\big)/\log(n)\longrightarrow (d-\alpha)/d\,.\] This is a generalization of a result of Steele (1988) from the non-singular case to the fractal setting. Our result is best possible, in the sense that there exist Ahlfors regular measures for which the limit $\lim_{n ightarrow\infty} n^{-\frac{d-\alpha}{d}} E^0_\alpha\left(x_1,\ldots,x_n ight)$ does not exist with high probability. We also prove analogous results for weighted sums defined in terms of higher dimensional persistent homology.

研究动机与目标

• 建立具有Ahlfors正则测度的度量空间中持久同调与分形维数之间的联系。
• 将Steele（1988年）在非奇异空间中关于最小生成树权重的结果推广至分形、奇异情形。
• 证明最小生成树的 $\alpha$-权重的标度行为可揭示底层分形维数 $d$。
• 证明 $n^{-(d-\alpha)/d} E^0_\alpha$ 的极限以高概率存在，且介于两个正常数之间。
• 通过加权和的方式将分析扩展至高阶持久同调。

提出的方法

• 将 $E^0_\alpha(x_1,\dots,x_n)$ 定义为从 $d$-Ahlfors正则测度中独立同分布抽取的 $n$ 个样本的最小生成树中所有边 $e$ 的 $|e|^\alpha$ 之和。
• 通过概率分析证明，当 $n \to \infty$ 时，$n^{-(d-\alpha)/d} E^0_\alpha$ 以高概率在两个正常数 $C_1$ 和 $C_2$ 之间随机有界。
• 利用测度的Ahlfors正则性来控制随机样本的局部密度与几何结构。
• 应用集中不等式与几何概率技术，建立归一化权重的高概率收敛性。
• 通过在高阶单纯形上定义类似加权和的方式，将结果推广至高阶持久同调。
• 构造反例以证明结果的紧致性：对于某些 $d$-Ahlfors正则测度，极限以高概率不存在。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有Ahlfors正则测度的度量空间的分形维数能否从其随机样本的持久同调中恢复？
• RQ2 在 $n$ 个独立同分布样本上，最小生成树的 $\alpha$-权重是否以揭示底层维数 $d$ 的方式缩放？
• RQ3 Steele（1988年）关于最小生成树权重的结果能否推广至分形、奇异测度？
• RQ4 $n^{-(d-\alpha)/d} E^0_\alpha(x_1,\dots,x_n)$ 在 $n \to \infty$ 时的精确渐近行为是什么？
• RQ5 是否存在即使以高概率，归一化权重的极限也不存在的情况？

主要发现

• 以高概率，归一化 $\alpha$-权重 $n^{-(d-\alpha)/d} E^0_\alpha(x_1,\dots,x_n)$ 在 $n \to \infty$ 时介于两个正常数 $C_1$ 和 $C_2$ 之间。
• 当 $n \to \infty$ 时，$\log(E^0_\alpha)/\log(n)$ 几乎必然收敛于 $(d - \alpha)/d$。
• 该结果将Steele（1988年）的非奇异情形推广至分形测度，建立了持久同调与分形几何之间的联系。
• 该界是紧致的：存在 $d$-Ahlfors正则测度，使得极限 $\lim_{n \to \infty} n^{-(d-\alpha)/d} E^0_\alpha$ 以高概率不存在。
• 通过高阶单纯形上的加权和，类似结果在高阶持久同调中也成立。
• 该标度律提供了一种基于随机样本上最小生成树权重的分形维数 $d$ 的统计估计量。