[论文解读] The Pfaff lattice and the symplectic eigenvalue problem

Yuji Kodama, Virgil U. Pierce|arXiv (Cornell University)|Feb 15, 2008

Algebraic structures and combinatorial models被引用 2

一句话总结

本文研究具有辛下Hessenberg Lax矩阵的Pfaff阶梯，其可约化为三对角形式。研究发现奇流恒为平凡，而偶流等价于不定Toda阶梯，且通过不定Toda系统中的正交多项式建立了与斜正交多项式之间的联系。

ABSTRACT

The Pfaff lattice is an integrable system arising from the SR-group factorization in an analogous way to how the Toda lattice arises from the QR-group factorization. In our recent paper [{\it Intern. Math. Res. Notices}, (2007) rnm120], we studied the Pfaff lattice hierarchy for the case where the Lax matrix is defined to be a lower Hessenberg matrix. In this paper we deal with the case of a symplectic lower Hessenberg Lax matrix, this forces the Lax matrix to take a tridiagonal shape. We then show that the odd members of the Pfaff lattice hierarchy are trivial, while the even members are equivalent to the indefinite Toda lattice hierarchy defined in [Y. Kodama and J. Ye, {\it Physica D}, {\bf 91} (1996) 321-339]. This is analogous to the case of the Toda lattice hierarchy in the relation to the Kac-van Moerbeke system. In the case with initial matrix having only real or imaginary eigenvalues, the fixed points of the even flows are given by $2 imes 2$ block diagonal matrices with zero diagonals. We also consider a family of skew-orthogonal polynomials with symplectic recursion relation related to the Pfaff lattice, and find that they are succinctly expressed in terms of orthogonal polynomials appearing in the indefinite Toda lattice.

研究动机与目标

• 研究在辛下Hessenberg Lax矩阵约束下的Pfaff阶梯。
• 确定由此产生的动力系统的结构与可积性，特别关注奇流与偶流的性质。
• 当初始矩阵具有实特征值或纯虚特征值时，确定偶流的不动点。
• 建立与Pfaff阶梯相关的斜正交多项式和不定Toda阶梯中正交多项式之间的联系。
• 阐明Pfaff阶梯与已知可积系统之间的关系，特别是在辛几何与矩阵分解的背景下。

提出的方法

• 利用SR群分解推导Pfaff阶梯，类似于QR分解推导Toda阶梯的方法。
• 在下Hessenberg Lax矩阵上施加辛结构，迫使其变为三对角形式。
• 分析流的阶梯结构，表明在辛约束下奇流恒为零。
• 证明Pfaff阶梯中的偶流与Kodaka和Ye引入的不定Toda阶梯完全等价。
• 构造一族具有辛递推关系的斜正交多项式，其与Lax矩阵的动力学密切相关。
• 将斜正交多项式用不定Toda阶梯中的正交多项式表示，揭示其结构对应关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 当Lax矩阵被约束为辛且下Hessenberg形式时，Pfaff阶梯的结构如何？
• RQ2 在该辛约束下，Pfaff阶梯的奇流与偶流行为如何？
• RQ3 Pfaff阶梯的偶流与不定Toda阶梯之间存在何种关系？
• RQ4 当初始Lax矩阵具有实特征值或纯虚特征值时，偶流的不动点是什么？
• RQ5 具有辛递推关系的斜正交多项式与不定Toda阶梯中的正交多项式之间有何关联？

主要发现

• 辛约束迫使Lax矩阵变为三对角形式，从而简化了系统的结构。
• 在辛条件下，Pfaff阶梯中的奇流恒为平凡（恒为零）。
• Pfaff阶梯中的偶流与Kodama和Ye定义的不定Toda阶梯完全等价。
• 当初始矩阵具有实特征值或纯虚特征值时，偶流的不动点为$2 \times 2$块对角矩阵，且对角块为零矩阵。
• Pfaff阶梯的斜正交多项式可简洁地用不定Toda阶梯中的正交多项式表示。
• 建立了Pfaff阶梯与不定Toda阶梯多项式系统之间的直接对应关系，揭示了更深层次的可积结构。