[论文解读] The phase diagram of the Hubbard model by Variational Auxiliary Field quantum Monte Carlo

Sandro Sorella|arXiv (Cornell University)|Jan 18, 2021

Physics of Superconductivity and Magnetism被引用 27

一句话总结

提出了一种可系统性改进的变分波函数（VAFQMC）用于二维哈伯德模型，利用带有优化的平均场及相关性的辅助场量子蒙特卡洛，通过映射其相图包括条纹相和 d 波超导倾向。

ABSTRACT

A systematically improvable wave function is proposed for the numerical solution of strongly correlated systems. With a stochastic optimization method, based on the auxiliary field quantum Monte Carlo technique, an effective temperature Teff is defined, probing the distance of the ground state properties of the model in the thermodynamic limit from the ones of the proposed correlated mean-field ansatz. In this way their uncertainties from the unbiased zero temperature limit may be estimated by simple and stable extrapolations well before the so called sign problem gets prohibitive. At finite Teff the convergence of the energy to the thermodynamic limit is indeed shown to be possible in the Hubbard model already for relatively small square lattices with linear dimension L ~10, thanks to appropriate averages over several twisted boundary conditions. Within the estimated energy accuracy of the proposed variational ansatz, two clear phases are identified, as the energy is lowered by spontaneously breaking some symmetries satisfied by the Hubbard Hamiltonian: a) a stripe phase where both spin and translation symmetries are broken, and b) a strong coupling d-wave superconducting phase when the particle number is not conserved and global U(1) symmetry is broken. On the other hand the symmetric phase is stable in a wide region at large doping and small coupling.

研究动机与目标

• 为强相关系统开发可系统性改进的变分波函数。
• 将变分蒙特卡洛与辅助场量子蒙特卡洛相结合，以投影至基态。
• 通过有效温度 T_eff 和扭曲边界条件实现向热力学极限的稳定外推。
• 通过能量优化的平均场猜想并结合相关性改进，识别二维哈伯德模型中的竞争相。

提出的方法

• 定义一个变分猜想 | ablapsi_tau> = exp[-(tau/2)(H_MF(alpha) + V)] |psi_MF>，其中具有对称性破缺的平均场 | psi_MF> 和一个带参数的 H_MF(alpha)。
• 在辅助场量子蒙特卡洛框架内使用离散的 Hubbard-Stratonovich 变换来处理相互作用项。
• 使用带有优化时间步长的非均匀 Trotter 分解，在保持 tau 固定的同时尽量减小投影误差。
• 通过能量极小化，利用伴随算法微分（Adjoint Algorithmic Differentiation）来获得梯度，优化 alpha 与 alpha_0（平均场和投影参数）。
• 应用扭曲平均边界条件（TABC）以加速收缩到热力学极限，并在布里渊区对扭角进行平均。
• 通过对辅助场配置进行采样并在有效温度 T_eff = 1/tau 上进行稳定外推来估计基态性质，计算能量和可观测量。

实验结果

研究问题

• RQ1 在使用可系统性改进的变分辅助场方法时，二维哈伯德模型会出现哪些相？
• RQ2 VAFQMC 能否在掺杂和耦合常数 U 的函数下识别条纹序和 d 波超导倾向？
• RQ3 在 TABC 和有限 T_eff 外推下，能量收敛到热力学极限的速度与可靠性如何？
• RQ4 在热力学极限下，该变分猜想与基准结果（如 DMRG、iPEPS）相比如何？

主要发现

• VAFQMC 发现两种竞争相：在粒子数未固定时，打破自旋和平移对称性的条纹相，以及强耦合下的 d 波超导相。
• 在大维度（2D）系统中，条纹态和 d 波态的能量可能非常接近，某些掺杂和参数下条纹态往往更有能量优势。
• 利用所提出猜想对 T_eff → 0 的能量外推，与基准方法高度一致，且在热力学极限下通常提供所报告方法中最优的变分能量。
• 在使用适当的边界条件和扭角平均时，该方法在相对规模适中的簇上对投影时间显示出快速收敛。
• 当 U/t = 8、掺杂接近 1/8 时，具有特定宽度（如 W = 8）的条纹态成为有利的平均场配置，而均匀的 d 波态在系统尺寸和边界条件的影响下仍具有竞争力。
• 与 DMRG 和 iPEPS 基准相比，VAFQMC 在热力学极限下提供的变分能量具有高度竞争力或优越性，凸显其作为强相关晶格模型基准工具的有效性。