[论文解读] The phase transition for planar Gaussian percolation models without FKG

Stephen Muirhead, Alejandro Rivera+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 22, 2020

Stochastic processes and statistical mechanics被引用 4

一句话总结

该论文在不依赖FKG不等式或强相关性衰减的前提下，建立了平面高斯渗滤模型在ℓ = 0处存在相变的结论。通过引入基于阈值去局域化的新型尖锐阈值准则，并利用洒水过程对Tassion的RSW理论进行适应，作者证明了在仅假设对称性和温和相关性衰减的条件下，对于ℓ ≤ 0， excursion sets {f ≥ −ℓ} 几乎必然具有有界连通分支；而对于ℓ > 0，则存在无界连通分支。

ABSTRACT

We develop techniques to study the phase transition for planar Gaussian percolation models that are not (necessarily) positively correlated. These models lack the property of positive associations (also known as the `FKG inequality'), and hence many classical arguments in percolation theory do not apply. More precisely, we consider a smooth stationary centred planar Gaussian field $f$ and, given a level $\ell \in \mathbb{R}$, we study the connectivity properties of the excursion set $\{f \geq -\ell\}$. We prove the existence of a phase transition at the critical level $\ell_{crit}=0$ under only symmetry and (very mild) correlation decay assumptions, which are satisfied by the random plane wave for instance. As a consequence, all non-zero level lines are bounded almost surely, although our result does not settle the boundedness of zero level lines (`no percolation at criticality'). To show our main result: (i) we prove a general sharp threshold criterion, inspired by works of Chatterjee, that states that `sharp thresholds are equivalent to the delocalisation of the threshold location'; (ii) we prove threshold delocalisation for crossing events at large scales -- at this step we obtain a sharp threshold result but without being able to locate the threshold -- and (iii) to identify the threshold, we adapt Tassion's RSW theory replacing the FKG inequality by a sprinkling procedure. Although some arguments are specific to the Gaussian setting, many steps are very general and we hope that our techniques may be adapted to analyse other models without FKG.

研究动机与目标

• 建立不满足FKG不等式的平面高斯渗滤模型中相变存在的结论。
• 在最小假设（对称性与温和相关性衰减）下，证明渗滤的临界水平为ℓ_crit = 0。
• 为缺乏正相关性的渗滤模型发展一种通用的尖锐阈值分析框架。
• 通过基于洒水的论证而非正相关性，将RSW理论适应于无FKG的高斯场。
• 证明所有非零水平线几乎必然有界，尽管零水平线的有界性仍为开放问题。

提出的方法

• 提出一种新的尖锐阈值准则：尖锐阈值等价于大尺度上阈值位置的去局域化。
• 通过分析穿越概率对水平位移的方差与敏感性，证明大尺度穿越事件的阈值去局域化。
• 通过用洒水过程替代正相关性，将Tassion的RSW理论适应于无FKG的高斯场，从而在中观尺度上引入独立性。
• 利用Cross-X-Cross构造在多尺度上传播穿越事件，确保在二进制环形区域中存在嵌套穿越。
• 通过迭代对数增长条件的递归粘合论证，从局部穿越事件构造出任意大的穿越。
• 利用高斯性与类似超收缩性的性质，控制尾部概率，并确保临界状态下穿越概率的统一下界。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于不满足FKG不等式的平面高斯场，ℓ = 0处是否存在相变？
• RQ2 在不依赖正相关性或有限能量的前提下，能否建立渗滤中尖锐阈值现象？
• RQ3 是否能够将RSW理论适应于缺乏正相关性的高斯场？
• RQ4 相关性衰减与对称性的何种条件足以保证相变的存在？
• RQ5 平面高斯场的所有非零水平线是否几乎必然有界？

主要发现

• 对于任意满足对称性与温和相关性衰减的光滑、平稳、中心化的平面高斯场，相变临界点为ℓ_crit = 0。
• 对于所有ℓ ≤ 0，excursion sets {f ≥ −ℓ} 几乎必然仅有有界连通分支。
• 对于所有ℓ > 0，excursion sets {f ≥ −ℓ} 几乎必然包含唯一一个无界连通分支。
• 穿越事件的阈值在大尺度上发生去局域化，意味着穿越概率在极小的水平区间内从接近0急剧跃升至接近1。
• 通过使用洒水机制模拟正相关效应，成功地将RSW型论证适应于无FKG的高斯场。
• 该证明建立了一个通用框架，可推广至其他非正相关模型，仅依赖于平面性、遍历性、对称性以及高斯性（或超收缩性）。