[论文解读] The Picard Group of the Moduli of Higher Spin Curves

Tyler J. Jarvis|ArXiv.org|Aug 16, 1999

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 15被引用 22

一句话总结

本文计算了高阶旋曲率模堆栈及其紧化形式的Picard群，推广了Cornalba关于2-旋曲率曲线的工作。文中建立了塔陶洛吉克类之间的关系，并证明当r被2或3整除时，r-旋曲率曲线模堆栈的Picard群包含非平凡挠子群——若2|r则为4阶挠子群，若3|r则为3阶挠子群，这与曲线模空间的Picard群无挠子群形成鲜明对比。

ABSTRACT

This article treats the Picard group of the moduli (stack) of r-spin curves and its compactification. Generalized spin curves, or r-spin curves are a natural generalization of 2-spin curves (algebraic curves with a theta-characteristic), and have been of interest lately because they are the subject of a remarkable conjecture of E. Witten, and because of the similarities between the intersection theory of these moduli spaces and that of the moduli of stable maps. We generalize results of Cornalba, giving relations between many of the elements of the Picard group of the stacks. These relations are important in the proof of the genus-zero case of Witten's conjecture given in math.AG/9905034. We use these relations to show that when 2 or 3 divides r, then the Picard group of the open stack has non-zero torsion. And finally, we work out some specific examples for small values of g and r.

研究动机与目标

• 将Cornalba关于2-旋曲率曲线Picard群的结果推广至高阶旋曲率曲线（r ≥ 2）。
• 描述模堆栈 $\mathfrak{S}_g^{1/r}$ 及其紧化形式 $\overline{\mathfrak{S}}_g^{1/r}$ 的Picard群结构。
• 识别并证明当r被2或3整除时，$\text{Pic}\,\mathfrak{S}_g^{1/r}$ 中挠子群的存在性。
• 在Picard群中提供塔陶洛吉克类（Hodge类、边界除子、线丛）之间显式关系。

提出的方法

• 通过使用具有秩一挠子群的稳定r-旋曲率曲线作为canonical层的r次根，将模堆栈 $\mathfrak{S}_g^{1/r}$ 及其紧化形式 $\overline{\mathfrak{S}}_g^{1/r}$ 构造为 $\overline{\mathfrak{M}}_g$ 的有限覆盖。
• 识别Picard群中的关键塔陶洛吉克类：Hodge类λ、边界除子Δ_i，以及与具有水平结构的椭圆曲线自同构相关的线丛μ^{d/r,±}。
• 利用j-不变量为0和1728的椭圆曲线上显式几何构造，分别定义阶为3r和4r的自同构，并分析其对线丛的作用以检测挠子群。
• 通过几何点的自同构诱导的同态（如 $\mathbb{Z}/4r\mathbb{Z}$、$\mathbb{Z}/3r\mathbb{Z}$）将Picard群映射到有限循环群，以检测挠子群元素。
• 通过拉回与上推操作推导Picard群中类之间的普遍关系，推广Cornalba在r=2时的关系。
• 采用上同调技巧与堆栈理论方法分析堆栈的Picard群，将其与粗模空间的Picard群区分开来。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于一般r ≥ 2，r-旋曲率曲线模堆栈 $\mathfrak{S}_g^{1/r}$ 及其紧化形式 $\overline{\mathfrak{S}}_g^{1/r}$ 的Picard群结构是什么？
• RQ2 在 $\overline{\mathfrak{S}}_g^{1/r}$ 的Picard群中，塔陶洛吉克类（Hodge类、边界除子、线丛）之间有何关系？
• RQ3 当r被2或3整除时，$\mathfrak{S}_g^{1/r}$ 的Picard群是否包含挠子群？若包含，其阶数是多少？
• RQ4 能否将r=2情形下塔陶洛吉克类之间的关系推广至更高r的情形？
• RQ5 对于低亏格（如亏格1或r=2的一般g）的情形，$\mathfrak{S}_g^{1/r}$ 的Picard群是什么？

主要发现

• 当2整除r时，Picard群 $\text{Pic}\,\mathfrak{S}_g^{1/r}$ 包含4阶挠子群，由映射到 $\mathbb{Z}/4r\mathbb{Z}$ 的同态证明，其像的阶为4。
• 当3整除r时，$\text{Pic}\,\mathfrak{S}_g^{1/r}$ 包含3阶挠子群，通过映射到 $\mathbb{Z}/3r\mathbb{Z}$ 的同态证明，其像的阶为3。
• 在 $\text{Pic}\,\overline{\mathfrak{S}}_g^{1/r}$ 中，Hodge类λ与边界除子类相互独立，这是证明挠子群存在的关键步骤。
• 对于亏格1与一般r，猜想 $\text{Pic}\,\mathfrak{S}_g^{1/r,(d)}$ 为：当d=2时为 $\mathbb{Z}/2r\mathbb{Z}$，当d=3时为 $\mathbb{Z}/r\mathbb{Z}$，当d>3时为 $\mathbb{Z}/(r/d)\mathbb{Z}$。
• 对于r=2且g>2的情形，偶自旋或奇自旋曲线模堆栈的Picard群猜想为 $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$，由μ与λ生成，满足关系8μ + 4λ = 0。
• 结果推广了Cornalba在r=2时的关系，并提供了证明r-旋曲率交集理论在亏格零情形下Witten猜想的关键关系。