[论文解读] The pluripotential Cauchy-Dirichlet problem for complex Monge-Ampere flows

Vincent Guedj, Hoang Chinh Lu+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 4, 2018

Geometry and complex manifolds参考文献 16被引用 4

一句话总结

本文建立了ℂⁿ中有界强拟凸域中退化复蒙日-阿普雷雷流的全纯势解的理论基础。证明了全纯势次解的Perron包络在时间上为拟凹，在空间上连续，从而在自然的柯西-狄利克雷边界条件下，给出了具有此类正则性的唯一解。

ABSTRACT

We develop the first steps of a parabolic pluripotential theory in bounded strongly pseudo-convex domains of Cn. We study certain degenerate parabolic complex Monge-Amp{\\`e}re equations, modelled on the K{\\"a}hler-Ricci flow evolving on complex algebraic varieties with Kawamata log-terminal singularities. Under natural assumptions on the Cauchy-Dirichlet boundary data, we show that the envelope of pluripotential subsolutions is semi-concave in time and continuous in space, and provides the unique pluripotential solution with such regularity.

研究动机与目标

• 在有界强拟凸域中，发展退化抛物型复蒙日-阿普雷雷方程的全息势理论。
• 解决具有奇异数据的复蒙日-阿普雷雷流的柯西-狄利克雷问题，尤其与klt奇点的极小模型程序相关。
• 将Bedford-Taylor与Kołodziej的椭圆全息势理论推广至抛物设置，克服黏性方法的局限性。
• 通过Perron包络法证明全息势解的存在性、唯一性与正则性。
• 在数据正则性假设最小的条件下，建立解的时间拟凹性与空间连续性。

提出的方法

• 引入抛物势类，定义为在空间上全纯次调和、在时间上局部一致Lipschitz的函数。
• 通过弱收敛与逼近技巧，在抛物势上定义抛物复蒙日-阿普雷雷算子。
• 将次解的Perron包络构造为所有满足边界条件的次解的逐点上确界。
• 利用紧致性与逼近论证，证明Perron包络在时间上为拟凹、在空间上连续。
• 使用光滑化核卷积与Jensen不等式对次解进行正则化，在非线性项具有拟凸性时保持次解性质。
• 应用全息势理论中的比较原理与稳定性结果，验证Perron包络在弱意义下满足流方程。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在有界强拟凸域中为退化复蒙日-阿普雷雷流建立全息势理论？
• RQ2 全息势次解的Perron包络是否能给出具有时间拟凹正则性与空间连续正则性的唯一解？
• RQ3 在边界数据正则性假设最小的条件下，解在抛物边界处的行为如何？
• RQ4 能否通过使用全息势方法，将黏性方法推广以处理klt奇点？
• RQ5 全息势解的存在性与正则性所需的充要条件是什么？

主要发现

• 全息势次解的Perron包络在时间上为拟凹、在空间上连续，从而提供了具有此类正则性的唯一解。
• 解被构造为所有满足柯西-狄利克雷边界条件的次解的逐点上确界。
• 解在全息势理论的弱意义下满足复蒙日-阿普雷雷流方程。
• 通过逼近与卷积光滑化下的稳定性，建立了时间拟凹性。
• 解的空间连续性源于次解的统一Lipschitz正则性与紧致性性质。
• 解以上半连续极限的方式继承边界值，确保与初始与侧向边界数据的相容性。