[论文解读] The Poisson binomial distribution -- Old & New

Wenpin Tang, Fengmin Tang|arXiv (Cornell University)|Aug 27, 2019

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 92被引用 8

一句话总结

本文对泊松二项分布进行了全面综述，将旧有成果与分布学习、多项式几何及最优传输领域的最新进展统一起来。研究结果表明，通过强雷利分布近似缩放后的泊松二项分布变量，其精度最高可达 2/3，具体精确界限取决于试验次数和系数约束条件。

ABSTRACT

This is an expository article on the Poisson binomial distribution. We review lesser known results and recent progress on this topic, including geometry of polynomials and distribution learning. We also provide examples to illustrate the use of the Poisson binomial machinery. Some open questions of approximating rational fractions of the Poisson binomial are presented.

研究动机与目标

• 统一概率、统计与组合数学领域中关于泊松二项分布的零散文献。
• 呈现分布学习、随机序及多项式根性质方面的最新进展。
• 研究利用强雷利分布对泊松二项分布变量的有理函数进行近似的精度。
• 探讨通过最优传输构建最优近似时的计算与几何约束。

提出的方法

• 使用概率生成函数（PGFs）刻画成功概率异质的独立伯努利试验之和的分布。
• 应用非负系数多项式理论，分析强雷利分布的根条件。
• 采用最优传输方法，界定缩放后的泊松二项分布变量与目标分布之间的Wasserstein距离。
• 通过判别式分析，推导出PGF所有根为实数的充要条件，适用于三次与四次多项式。
• 利用转运计划建模从缩放后的泊松二项分布变量到目标强雷利分布变量的质量重分配。
• 应用Hoeffding不等式与凸序理论，在固定均值条件下比较泊松二项分布与二项分布。

实验结果

研究问题

• RQ1 使用强雷利分布对缩放后的泊松二项分布变量进行近似时，可达到的最大精度是多少？
• RQ2 试验次数与系数约束如何影响近似分布的实根PGF的存在性？
• RQ3 在何种条件下，泊松二项分布变量的有理函数可被另一泊松二项分布精确近似？
• RQ4 Wasserstein距离如何约束强雷利类中最优近似的构造？
• RQ5 多项式根的几何结构在决定泊松二项近似最优传输计划可行性方面起什么作用？

主要发现

• 当 $ n=2 $ 时，近似精度 $ \operatorname{Acc}(2X/3) = 1/3 $，通过将质量转移至两点分布实现。
• 当 $ n=3 $ 时，近似精度 $ \operatorname{Acc}(2X/3) = 1/3 $，且PGF具有两个不同的实根。
• 当 $ n=4 $ 时，近似精度 $ \operatorname{Acc}(2X/3) = 2/3 $，且存在多个满足Wasserstein边界条件的强雷利分布。
• 当 $ n=5 $ 时，对任意强雷利分布 $ Y $，均有 $ \mathcal{W}_{\infty}(2X/3,Y) \neq 1/3 $，但 $ \operatorname{Acc}(2X/3) = 2/3 $ 可通过满足Hutchinson-Kurtz条件的PGF系数实现。
• 当 $ n=6 $ 时，从 $ \frac{2}{3}\operatorname{Bin}(6,1/2) $ 到 $ \operatorname{Bin}(4,1/2) $ 的转运计划可实现 $ \operatorname{Acc}(2X/3) = 2/3 $，其PGF为 $ \frac{1}{16}(1+x)^4 $。
• 近似分布实根PGF的存在性取决于判别式条件：三次PGF需满足 $ \Delta \geq 0 $，四次PGF的条件更复杂但可分析。