[论文解读] The polar decomposition for adjointable operators on Hilbert $C^*$-modules and centered operators

Na Liu‎, Wei Luo+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 3, 2018

Holomorphic and Operator Theory被引用 4

一句话总结

本文为希尔伯特 $C^*$-模上的有界算子的极分解建立了新的刻画，表明 $T = U(T^*T)^{1/2}$ 且 $Χ(U^*) = \overline{\u03a7(T^*)}$，并将其应用于推广 $C^*$-模框架下中心算子的理论，通过绝对值与酉部的交换子，证明了中心性存在的多个等价条件。

ABSTRACT

Let $T$ be an adjointable operator between two Hilbert $C^*$-modules and $T^*$ be the adjoint operator of $T$. The polar decomposition of $T$ is characterized as $T=U(T^*T)^\frac12$ and $\mathcal{R}(U^*)=\overline{\mathcal{R}(T^*)}$, where $U$ is a partial isometry, $\mathcal{R}(U^*)$ and $\overline{\mathcal{R}(T^*)}$ denote the range of $U^*$ and the norm closure of the range of $T^*$, respectively. Based on this new characterization of the polar decomposition, an application to the study of centered operators is carried out.

研究动机与目标

• 为希尔伯特 $C^*$-模上的有界算子的极分解提供一种新刻画，解决标准希尔伯特空间表述在此一般设定下失效的问题。
• 解决经典极分解刻画 $T = U|T|$ 且 $\mathcal{N}(T) = \mathcal{N}(U)$ 在希尔伯特 $C^*$-模中通常不成立的问题。
• 利用新的极分解框架，将希尔伯特空间中中心算子的概念推广至希尔伯特 $C^*$-模的设定。
• 在 $C^*$-模语境中建立算子为中心的多个等价条件，使用绝对值与酉部的交换子。

提出的方法

• 提出修正的极分解刻画：$T = U(T^*T)^{1/2}$ 且 $\mathcal{R}(U^*) = \overline{\mathcal{R}(T^*)}$，取代希尔伯特空间中的条件 $\mathcal{N}(T) = \mathcal{N}(U)$。
• 证明该新刻画与另外五个等式等价，简化为两个核心条件，从而推广希尔伯特空间情形。
• 利用新刻画在希尔伯特 $C^*$-模中定义并研究中心算子，将希尔伯特空间中的概念加以扩展。
• 建立算子 $T$ 为中性的十个不同条件之间的等价性，涉及 $|T^n|$, $|(T^m)^*|$, $U^n|T|(U^n)^*$ 与 $|T^*|$ 的交换子。
• 应用 $C^*$-代数理论中的技术，包括交换子恒等式以及希尔伯特 $C^*$-模中投影与像空间的性质。
• 通过数学归纳法和算子表达式的代数恒等变形，证明在新条件下，集合 $\Omega = \{|T|, U|T|U^*, U^*|T|U, \dots\}$ 中的算子两两可交换。

实验结果

研究问题

• RQ1 经典极分解刻画 $T = U|T|$ 且 $\mathcal{N}(T) = \mathcal{N}(U)$ 能否推广至希尔伯特 $C^*$-模上的有界算子？
• RQ2 当标准希尔伯特空间表述失效时，希尔伯特 $C^*$-模设定下极分解的合法且等价的刻画是什么？
• RQ3 如何将希尔伯特空间中中心算子的概念扩展至希尔伯特 $C^*$-模的更一般设定？
• RQ4 在希尔伯特 $C^*$-模语境中，算子为中性的等价条件有哪些？它们与绝对值和酉部的交换子有何关联？
• RQ5 在何种条件下，集合 $\Omega = \{|T|, U|T|U^*, U^*|T|U, U^2|T|(U^2)^*, \dots\}$ 中的算子两两可交换？

主要发现

• 希尔伯特 $C^*$-模上自伴算子 $T$ 的极分解由 $T = U(T^*T)^{1/2}$ 与 $\mathcal{R}(U^*) = \overline{\mathcal{R}(T^*)}$ 刻画，该刻画推广了希尔伯特空间情形。
• 经典刻画 $T = U|T|$ 且 $\mathcal{N}(T) = \mathcal{N}(U)$ 在希尔伯特 $C^*$-模设定中不成立，如例 3.15 所示。
• 已证明新极分解刻画与五个等式等价，其简化形式为两个核心条件：$T = U(T^*T)^{1/2}$ 与 $\mathcal{R}(U^*) = \overline{\mathcal{R}(T^*)}$。
• 定理 4.6 建立了算子 $T$ 为中性的十个条件之间的等价性，包括涉及 $|T^n|$, $|(T^m)^*|$, $U^n|T|(U^n)^*$ 与 $|T^*|$ 的交换子条件。
• 当且仅当 $T$ 为中性时，集合 $\Omega = \{|T|, U|T|U^*, U^*|T|U, U^2|T|(U^2)^*, (U^2)^*|T|U^2, \dots\}$ 中的算子两两可交换，该结论通过情形分析与交换子恒等式得到证明。
• 通过使用受限序列，建立了条件 (iii) 与 (vii) 的等价性，且 $T$ 沿序列可交换当且仅当对应的交换子条件成立。