[论文解读] The polynomial multidimensional Szemerédi Theorem along shifted primes

Nikos Frantzikinakis, Bernard Host+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 8, 2010

Analytic Number Theory Research参考文献 17被引用 4

一句话总结

本文建立了沿平移素数的多项式多维Szemerédi定理，证明了在ℤ^ℓ中具有正上Banach密度的任意子集都包含由多项式平移在平移素数上取值所定义的配置。证明结合了高阶Fourier分析中的一致范数、遍历理论与素数数论，推广了关于稠密集中等差数列与递归性的先前结果。

ABSTRACT

If $\vf_1, ... \vf_m\colon\Z o\Z^\ell$ are polynomials with zero constant terms and $E\subset\Z^\ell$ has positive upper Banach density, then we show that the set $E\cap (E-\vf_1(p-1))\cap\...\cap (E-\vf_m(p-1))$ is nonempty for some prime $p$. We also prove mean convergence for the associated averages along the prime numbers, conditional to analogous convergence results along the full integers. This generalizes earlier results of the authors, of Wooley and Ziegler, and of Bergelson, Leibman and Ziegler.

研究动机与目标

• 将多项式多维Szemerédi定理推广至由平移素数定义的配置，推广先前关于稠密集中等差数列的结果。
• 证明在ℤ^ℓ中任意正上Banach密度的集合，其通过p−1（p为素数）的平移能保持由多项式映射定义的交集模式。
• 在全整数上平均收敛的条件下，利用von Mangoldt型权函数的加权平均，证明沿素数的多重遍历平均的均值收敛。
• 统一并推广Wooley–Ziegler、Bergelson–Leibman–Ziegler以及作者先前关于素数中线性与二次模式的研究成果。
• 证明发生递归的参数集合n在平移素数ℙ−1与ℙ+1中具有正相对密度。

提出的方法

• 使用Furstenberg对应原理，将组合问题转化为在具有交换保测变换的概率空间上的遍历理论递归问题。
• 应用多项式Szemerédi定理的统一版本（定理4.1与推论4.2），以确保多重递归的统一下界，且不依赖于特定变换。
• 利用W技巧与尼尔序列等分布性，导出von Mangoldt型权函数Λ′(n)，以模拟算术级数中平移素数的分布。
• 依赖于算术级数中的素数定理与线性型条件，控制权序列Λ′(n)在区间上的均匀性。
• 使用主要测度法与主要序列，将沿素数的平均收敛性问题约化为沿算术级数的收敛性问题。
• 在L²(μ)中应用Cauchy准则，证明加权多重遍历平均的收敛性，利用平移素数的相对密度与尼尔序列的结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 多项式多维Szemerédi定理能否限制在平移素数参数上，即p−1与p+1（p为素数）？
• RQ2 在平移素数中，发生多重递归的整数n的集合是否具有正相对密度？
• RQ3 在全整数上平均收敛的条件下，沿素数的多重遍历平均在L²(μ)中收敛的条件是什么？
• RQ4 能否通过W技巧与尼尔序列理论，将统一多重递归结果适配至支撑于平移素数上的序列？
• RQ5 von Mangoldt函数及其主要化版本的结构如何与尼尔斯系统中多项式轨道的等分布性相关？

主要发现

• 对任意具有正上Banach密度的集合E ⊂ ℤ^ℓ及任意一组常数项为零的多项式映射q_i: ℤ → ℤ^ℓ，存在某个素数p，使得交集E ∩ (E − q₁(p−1)) ∩ … ∩ (E − q_m(p−1)) 非空。
• 发生此类递归的素数p的集合在平移素数ℙ−1与ℙ+1中具有正相对密度。
• 当全整数上的对应平均收敛时，沿素数的多重遍历平均在L²(μ)中均值收敛，条件为收敛性假设成立。
• 通过Cauchy准则，利用主要序列与权函数的均匀性，建立了加权平均∑_{p≤N} f₁(T^{q₁(n)}x)⋯f_m(T^{q_m(n)}x) / π(N) 的收敛性。
• 证明表明，对于固定W与与W互素的r，沿Wn+r的多重递归平均的下极限被一个仅依赖于集合测度与多项式次数的正数下界所控制。
• 该结果推广了Wooley–Ziegler（ℓ=1时）与Bergelson–Leibman–Ziegler（线性多项式时）的先前定理，将其扩展至任意常数项为零的多项式映射。