[论文解读] The (Poulsen) simplex of invariant measures

Katrin Gelfert, Dominik Kwietniak|arXiv (Cornell University)|Apr 2, 2014

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 20被引用 5

一句话总结

本文引入了关于周期点集合的两个新动力系统性质——可闭性与可连接性。当两者同时成立时，不变测度空间要么是单一周期轨道，要么是庞祖尔单纯形（Poulsen simplex），即具有稠密极端点的唯一一个柯洪单纯形（Choquet simplex）。这些结果扩展了西格穆德关于典型点的定理，并广泛适用于各类系统，包括β-移位和S-间隔移位，甚至超越具有规范性性质的系统。

ABSTRACT

Abstract. Two new concepts, closeability with respect to a set of pe-riodic points and linkability of a set of periodic points of a dynamical system are introduced. Examples are provided to show that closeabil-ity and linkability are independent properties. Both properties together imply that the set of invariant measures is either a single periodic orbit or the Poulsen simplex — the unique non-trivial Choquet simplex in which extreme points are dense. Moreover, under these conditions ev-ery invariant measure has a generic point and an extension of Sigmund’s theorem about generic properties of invariant measures still holds. The periodic specification property implies closeability and linkability for the set of periodic points. The methods apply beyond systems with specification, because all beta-shifts, all S-gap shifts, and many other dynamical systems are closeable with respect to some linkable sets of periodic points. We study simplices of invariant measures of dynamical systems. A dy-

研究动机与目标

• 定义并分析动力系统中周期点集合的两个新性质——可闭性与可连接性。
• 确立不变测度空间成为庞祖尔单纯形（一种具有稠密极端点的非平凡柯洪单纯形）的条件。
• 将西格穆德关于典型点的定理扩展至满足可闭性与可连接性的系统。
• 证明这些性质在超越周期规范性性质的系统中也成立，例如β-移位和S-间隔移位。
• 为理解各类动力系统中不变测度单纯形的结构，提供一个统一的框架。

提出的方法

• 引入关于周期点集合的可闭性概念，确保某些测度可被周期测度逼近。
• 将可连接性定义为周期点的一种结构条件，允许通过拼接周期轨道来构造测度。
• 利用柯洪单纯形理论，刻画在可闭性与可连接性同时满足时，不变测度空间的性质。
• 证明在此条件下，不变测度集合要么是单一周期轨道，要么是庞祖尔单纯形。
• 将该框架应用于β-移位和S-间隔移位等系统，表明其存在可连接且可闭的周期点集合。
• 利用周期规范性性质作为可闭性与可连接性成立的充分条件，从而扩展已知结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，周期点集合的不变测度空间会成为庞祖尔单纯形？
• RQ2 可闭性与可连接性如何与不变测度的典型点存在性相关？
• RQ3 西格穆德关于典型点的定理能否超越具有规范性性质的系统而被推广？
• RQ4 哪些类别的动力系统（如β-移位或S-间隔移位）对某些周期点集合满足可闭性与可连接性？
• RQ5 周期规范性性质与可闭性及可连接性联合性质之间存在何种关系？

主要发现

• 当一个周期点集合同时具备可闭性与可连接性时，其不变测度空间要么是单一周期轨道，要么是庞祖尔单纯形。
• 庞祖尔单纯形是唯一具有稠密极端点（即遍历测度）的非平凡柯洪单纯形。
• 此类系统中每个不变测度均存在典型点，从而推广了西格穆德关于测度典型性的结果。
• 周期规范性性质蕴含所有周期点集合的可闭性与可连接性。
• 该框架适用于广泛的动力系统类，包括所有β-移位和S-间隔移位，即使系统不具有完整的规范性性质。
• 可闭性与可连接性是独立性质，论文通过具体例子予以证明。