[论文解读] The power of linear programming for valued CSPs: a constructive characterization

Vladimir Kolmogorov|arXiv (Cornell University)|Jul 31, 2012

Advanced Graph Theory Research参考文献 18被引用 5

一句话总结

本文提供了可通过基本线性规划（BLP）松弛求解的有限值约束语言的构造性刻画。证明了当且仅当有限值语言 Γ 具备二元交换分数多态性时，其可通过 BLP 求解，从而给出了一个可多项式时间检验的必要且充分条件——解决了关于此类语言 BLP 求解可判定性的一个开放问题。

ABSTRACT

A class of valued constraint satisfaction problems (VCSPs) is characterised by a valued constraint language, a fixed set of cost functions on a finite domain. An instance of the problem is specified by a sum of cost functions from the language with the goal to minimise the sum. We study which classes of finite-valued languages can be solved exactly by the basic linear programming relaxation (BLP). Thapper and Zivny showed [20] that if BLP solves the language then the language admits a binary commutative fractional polymorphism. We prove that the converse is also true. This leads to a necessary and a sufficient condition which can be checked in polynomial time for a given language. In contrast, the previous necessary and sufficient condition due to [20] involved infinitely many inequalities. More recently, Thapper and Zivny [21] showed (using, in particular, a technique introduced in this paper) that core languages that do not satisfy our condition are NP-hard. Taken together, these results imply that a finite-valued language can either be solved using Linear Programming or is NP-hard.

研究动机与目标

• 解决关于有限值约束语言 BLP 求解条件是否可判定的开放问题。
• 为可通过基本线性规划（BLP）求解的有限值语言提供一种构造性、可多项式时间检验的刻画。
• 建立 Thapper 和 Živný 结果的逆定理，证明 BLP 求解性蕴含二元交换分数多态性的存在。
• 通过代数与线性规划技术统一并扩展现有关于加权CSP可 tractability 的结果。
• 证明在标准复杂性假设下，任何有限值语言要么可通过 BLP 精确求解，要么为 NP-难。

提出的方法

• 引入并形式化分数多态性（特别是二元交换分数多态性）作为代价函数的结构性质。
• 采用构造性证明技术，表明若某语言具备二元交换分数多态性，则 BLP 可求解该语言对应的所有 VCSP 实例。
• 通过在表示多态性结构的有向图上执行一系列“有效翻转”操作，将有环图转化为无环图，证明该性质在这些变换下保持封闭。
• 应用线性规划对偶性与凸松弛理论，分析 BLP 在 VCSP 实例上的整数性间隙。
• 借鉴先前关于多态性与 SDP 松弛的研究成果，对比并定位 BLP 的表达能力。
• 采用基于标记的代价函数表述，并应用多态性不等式，推导出 BLP 紧致性的必要条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否用有限、可检验的刻画替代有限值 VCSP 中 BLP 求解的无限不等式条件？
• RQ2 二元交换分数多态性的存在是否为 BLP 求解有限值语言的必要且充分条件？
• RQ3 BLP 松弛能否精确求解所有可 tractable 的有限值 VCSP？是否存在超出其能力范围的语言？
• RQ4 有限值语言中 STP 多态性与次模性多态性之间存在何种关系？
• RQ5 在标准复杂性假设下，BLP 松弛是否与更复杂的松弛（如 SDP）具有相同的表达能力？

主要发现

• 当且仅当有限值语言 Γ 具备二元交换分数多态性时，其可通过基本线性规划（BLP）求解。
• 该刻画为 BLP 求解可判定性提供了可多项式时间检验的条件，解决了 Thapper 和 Živný 提出的无限不等式条件可判定性这一长期开放问题。
• 本文证明：若某语言具备 STP 多态性，则其亦具备次模性多态性，从而建立了多态性属性之间的结构性层次。
• 存在一条有效的翻转序列，可将任意完全有向图通过反转三元环中的边转化为无环图，证明了多态性性质在该类变换下的封闭性。
• 结合 Thapper 和 Živný 的近期结果，本工作表明在假设 P ≠ NP 的前提下，每个有限值语言要么可通过 BLP 求解，要么为 NP-难。
• 结果表明，在唯一游戏猜想下，BLP 与 SDP 松弛对有限值 VCSP 具有相同的精确求解能力，且不存在仅可通过 SDP 精确求解但无法通过 BLP 求解的语言。